Äquivalenzklassen Addition / Multiplikation

03.11.2014, 17:41	Hypestar	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzklassen Addition / Multiplikation Hallo zusammen, wäre eventuell gerade jemand so freundlich mir zu Erklären wie genau die Multiplikation und Addition zweier Äquivalenzklassen funktioniert? Im Internet finde ich leider keine Seite die es mir möglichst einfach anhand von Beispielen erklärt. Sitze momentan davor: $\begin{eqnarray} [[42]] \oplus47 [[276]] = [[271]] \end{eqnarray}$ , wobei die 47 rechts unten am Kreis sein sollte. Ist mein Ergebnis soweit richtig und wenn ja, gibt es eine Möglichkeit dies zu vereinfachen? Und wie sieht es bei der Multiplikation aus: $\begin{eqnarray} [[7]] \otimes11 [[19]] \end{eqnarray}$ , auch hier sollte die 11 wieder rechts unten am Kreis sein. Hier weiß ich leider gar nicht wie ich an die Aufgabe heran gehe :/ Folgende Definitionen sind mir geläufig aber ich weiß nicht was es dann mit der 47 und der 11 an den Kreisen auf sich hat: $\begin{eqnarray} [[a]] \oplus [[b]] = [[a + b]] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} [[a]] \otimes [[b]] = [[a b]] \end{eqnarray*}$ Hoffe ihr könnt mir helfen
03.11.2014, 18:11	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Was für eine Äquivalenzrelation betrachtest du denn? Und wie sind Addition/Multiplikation dafür definiert? Es gibt nicht nur "die eine Äquivalenzrelation", es gibt auch nicht immer "die eine Addition", von daher kann man da so allgemein nichts zu sagen. Eine Vermutung: die 47 bedeutet, dass wir es mit Restklassen modulo 47 zu tun haben, da würde auch das Ergebnis von dir passen (wobei es dann noch nicht die "optimale" Darstellung wäre).
03.11.2014, 18:16	Hypestar	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Aufgabenstellung steht einfach nur: Bestimmen Sie die folgenden Äquivalenzklassen. Vereinfachen sie die Schreibweise so weit wie möglich. Aber ja das steht für modulo 47. Wie würde man denn sowas weiter vereinfachen und wie geht man bei der Multiplikation von Restklassen vor? Geht dies Analog?
03.11.2014, 18:23	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also betrachten wir die Restklassen modulo 47. Ist dir klar, wie diese Äquivalenzrelation definiert ist? Dann sollte das eigentlich keine großen Probleme bereiten; in diesem Fall sind die Addition und Multiplikation nämlich genauso definiert, wie du sie angegeben hast, d.h. $\begin{eqnarray} [a]+[b]=[a+b],[a]\cdot[b]=[a\cdot b] \end{eqnarray}$ . In deinem Beispiel ist z.B. $\begin{eqnarray} [42]\oplus_{47}[276]=[318] \end{eqnarray}$ , da aber $\begin{eqnarray} 318 \equiv 271 \operatorname{mod} 47 \end{eqnarray}$ ist, wurde einfach nur ein anderer Vertreter der Äquivalenzklasse gewählt.
03.11.2014, 18:33	Hypestar	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dann ist mir klar wie das gerechnet wird, auf die 271 bin ich ja selber gekommen. Ich war mir nur nicht sicher ob das die optimale Darstellung ist. Also gehe ich für die 2. Aufgabe analog vor und erhalte 7*19 = 133 und das optimale Ergebnis wäre 122 ?
03.11.2014, 18:38	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte das "optimal" bewusst in Anführungsstriche gesetzt, das ist zumindest zum Teil eine subjektive Einschätzung. Ich bevorzuge den kleinsten positiven Vertreter. Bei mir würde ich also statt $\begin{eqnarray} [271]_{47} \end{eqnarray}$ auf den kleinsten Vertreter $\begin{eqnarray} [36]_{47} \end{eqnarray}$ zurückgreifen. Manchmal wird diese Darstellung auch gefordert, um ein eindeutiges Ergebnis forcieren zu können, sofern das bei euch nicht der Fall ist, kannst du aber jeden beliebigen anderen Vertreter nehmen.
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