wachstum

03.11.2014, 18:24

akamanston

wachstum

Hi, ich brauche anscheinend ein paar tipps.

gegeben ist die halbwertszeit von 5730+-40 jahre. wie alt ist ein kleidungsstück bei dem nur noch 70% des natürlichen gehalts gemessen werden. ich weiß, dass das sehr gekürzt ist, aber ich denk das reicht aus?

ich muss ja die formel

$\begin{eqnarray*} A(t)=A(t0)*e^{c(t-t0)} \end{eqnarray*}$

benutzen. gesucht ist ja eine zeit. ist das $\begin{eqnarray*} t-t0=t1 \end{eqnarray*}$ ? und für $\begin{eqnarray*} A(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A(t0) \end{eqnarray*}$ setze ich die gegebenen werte ein und löse nach t1 auf?

03.11.2014, 18:39

Dopap

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das genügt. Ein t0 ist nicht notwendig, man setzt einfach t0=0, das heißt man startet mit dem Zerfall zur Zeit t=0 ( Stoppuhrzeit )

1.) Berechne doch erst mal die Konstante c.

03.11.2014, 18:46

akamanston

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eigentlich dachte ich 0,7=c ^^

aber das stimmt wohl nicht.
du meinst wohl

$\begin{eqnarray*} N(t)=N(0)e^{-ct} \end{eqnarray*}$

aber was ist denn nun die zeit? 5690, 5730, 5770 ?
was ist N(0)?

03.11.2014, 18:55

Dopap

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das Plus-Minus ist momentan nicht relevant.

Da relative Angaben vorliegen gilt:

$\begin{eqnarray*} N(5730)=1\cdot e^{-c\cdot 5730}=0.5 \end{eqnarray*}$

damit lässt sich c berechnen.

03.11.2014, 19:03

akamanston

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ich checks net.

ist N(0)=1?
woher kommt N(5730)=0,5 ? das hat wohl was mit der definition von halbwertsszeit (halbierter anfangszustand)

03.11.2014, 19:08

Dopap

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ja, richtig!

$\begin{eqnarray*} N(\underbrace {5730}_{\text{Halbwertszeit}})=100% \cdot e^{-c\cdot 5730}=50% \end{eqnarray*}$

so besser ?

03.11.2014, 19:19

akamanston

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super, der zusammenhang hat sich jetzt aber eingebrannt!

ok, also $\begin{eqnarray*} c= -1,21*10^{-4} \end{eqnarray*}$

nun benötigen wir wieder die andere formel.

$\begin{eqnarray*} A(t)=0,7A(t0)*e^{c(t)} \end{eqnarray*}$ ???????

03.11.2014, 19:27

Dopap

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c ist positiv, da der Ansatz schon ein Minus enthielt !

ob N(t) oder A(t), es bleibt dieselbe Funktion.

$\begin{eqnarray*} A(t)=1\cdot e^{-0.000121\cdot t} \end{eqnarray*}$

nun ist $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ gesucht mit $\begin{eqnarray*} A(t_1)=0.7 \end{eqnarray*}$

03.11.2014, 19:35

akamanston

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das c bekomme ich aber rechnerisch nicht positiv hin. es wird erst im endergebnis t=2972a positiv.
also kann c doch negativ sein?
wieso spielt das +- keine rolle? is doch nicht zur täuschun angegeben?

03.11.2014, 19:38

Hausmann

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RE: wachstum

Zitat:

Original von akamanston gegeben ist die halbwertszeit von 5730+-40 jahre. wie alt ist ein kleidungsstück bei dem nur noch 70% des natürlichen gehalts gemessen werden.

Es geht also wohl um ein historisches Kleidungsstück, dessen Alter t mittels der C14-Methode zu bestimmen ist. Dabei wird natürlich nicht irgendwas mit "natürlichem Gehalt" gemessen, sondern die Masse Kohlenstoff und die Aktivität (Betastrahlung) desselben, um daraus mit Kenntnis der Halbwertszeit T (=5730 a) den Zeitpunkt des Absterbens der zur Herstellung der Kleidung verwendeten Pflanzen zu ermitteln.

Erinnerung an das Zerfallsgesetz $\begin{eqnarray*} N(t)=N(0)e^{-\lambda t} \end{eqnarray*}$ ist die Zahl der noch vorhandenen C14-Kerne, lambda die Zerfallskonstante. "Halbwertszeit" T nennt man die Zeit, wo $\begin{eqnarray*} N(T)=\frac{1}{2}N(0) \end{eqnarray*}$ . N wird jedoch nicht gemessen, sondern die daraus sich ergebende Aktivität, die Zerfälle pro Zeit $\begin{eqnarray*} A(t):=-\frac{dN}{dt}=A(0)e^{-\lambda t} \end{eqnarray*}$ ... Ausgedrückt über T: $\begin{eqnarray*} A(t)=A(0)e^{-ln2\cdot t{/}T} \end{eqnarray*}$

Zurück zur Aufgabe: $\begin{eqnarray*} A(t)=A(0)e^{-ln2\cdot t{/}T}\overset{!}{=}0,7A(0)\Rightarrow t \end{eqnarray*}$

03.11.2014, 19:43

Dopap

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also, jetzt nicht abschweifen, erst mal das korrekte $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ berechnen !

Der Rest hat noch Zeit.

---------------------------

@Hausmann: es ist Usus nicht ohne Not in einen laufenden Thread einzugreifen unglücklich

03.11.2014, 19:48

akamanston

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Zitat:

Original von Dopap
also, jetzt nicht abschweifen, erst mal das korrekte $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ berechnen !

ja du hast recht. ich bin viel zu hektisch.

also es kommt heraus t1= 5776a

edit. moment da ist wieder was faul

03.11.2014, 19:53

Dopap

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Man sollte einfach auch jedes Ergebnis auf Plausibilität überprüfen !

nach 5730 Jahren ist der Bestand 50%

und nach deiner Rechnung ist 70% etwas später erreicht. Das passt nicht!

Ich tippe mal auf 4500 Jahren.

03.11.2014, 19:57

akamanston

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$\begin{eqnarray*} A(t)=1\cdot e^{-0.000121\cdot t} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} A(t_1)=0.7 \end{eqnarray*}$

also ist
$\begin{eqnarray*} A(t_1)= e^{1,2*10^{-4}*t_{1} } =0,7 \end{eqnarray*}$

03.11.2014, 20:02

Dopap

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ja schön, das ist ja schon bekannt, aber ein Minus fehlt noch im Exponenten !

Berechne jetzt doch $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$

03.11.2014, 20:05

akamanston

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ja wie bereits erwähnt.

$\begin{eqnarray*} t_{1} =2972a \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt aber mal ein fux bin und vonn den 100% = 11460 die 70% ausrechne komme ich auf 3438 Big Laugh

was denn nun richtig.

03.11.2014, 20:25

Hausmann

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Es geht, wenn ich wiederholen darf, um einen exponentiellen Vorgang, keinen linearen (den man mit Proportionalität oder Dreisatz erschlagen könnte).

03.11.2014, 20:27

Dopap

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Zitat:

Original von akamanston
ja wie bereits erwähnt.

$\begin{eqnarray*} t_{1} =2972a \end{eqnarray*}$

o.k. das hatte ich übersehen.

Zitat:

wenn ich jetzt aber mal ein fux bin und vonn den 100% = 11460 die 70% ausrechne komme ich auf 3438 Big Laugh

was denn nun richtig.

wieso ist 100% des Stoffes =11460 ??

edit: hast du eventuell die Funktion gar nicht ausgewertet ?

03.11.2014, 20:35

akamanston

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Zitat:

Original von Dopapwieso ist 100% des Stoffes =11460 ??

weil 50% = 5730, deshalb.

edit: hast du eventuell die Funktion gar nicht ausgewertet ?
doch doch habe ich. aber wir ind noch nicht fertig oder

03.11.2014, 20:40

Dopap

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also, ich komme nicht mehr klar.

Das Doppelte der Halbwertszeit ist die Anfangsmenge des Stoffes ????????

Ich denke, ich kann dir nicht mehr weiter helfen . Wink

03.11.2014, 20:43

akamanston

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ja vergiss die blöde idee einfach. das war nur ein unsinniger einschub.

aber was ist denn nun mit den beiden 5730 +- 40 jahre. das ist mein anliegen

05.11.2014, 03:22

Hausmann

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Zitat:

aber was ist denn nun mit den beiden 5730 +- 40 jahre. das ist mein anliegen

Nein, das ist nicht Dein Anliegen.

Du sollst das Alter $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ des Kleidungsstückes bestimmen, bei gegebener Aktivität $\begin{eqnarray*} A(t_1) = 70\ % \end{eqnarray*}$ und einer Halbwertszeit von 5730 Jahren und bist aufgrund der Gleichung $\begin{eqnarray*} 0{,}7=e^{-\frac{\ln 2}{5730}\cdot t_1} \end{eqnarray*}$ zu der (wegen Rundung) ungenauen Zahl $\begin{eqnarray*} t_1=2972\ a \end{eqnarray*}$ gekommen. Das richtige Ergebnis lautet $\begin{eqnarray*} t_1\approx 2949\ a \end{eqnarray*}$ . Und damit ist die Aufgabe erledigt: Das Kleidungsstück ist etwa 2949 Jahre alt. fedich!

[In Wirklichkeit steckt in dem C14 Verfahren eine hohe Ungenauigkeit, aber darum geht es hier nicht.]

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