(komplizierte) Integrale herleiten

03.11.2014, 23:43

Ratlos92

(komplizierte) Integrale herleiten

Meine Frage:
Guten Abend zusammen

Unsere Hausaufgaben umfassen diese Woche Integrale die ich so nicht nicht gesehen habe:
$\begin{eqnarray*} I_{n}(\lambda )=\int_0^\infty \! \, dx x^ne^-\lambda x=n!\lambda ^{-n+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} J_{n}(\lambda )=\int_0^\infty \! \, dx x^{2n+1}e^{-\lambda x^{2} }=\frac{1}{2} n!\lambda ^{-(n+1)} \end{eqnarray*}$

Berechne dazu zunächst die Integrale $\begin{eqnarray*} I_{o}(\lambda ) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} J_{o}(\lambda ) \end{eqnarray*}$ und zeige dann, dass sich aus diesem Resultat durch wiederholtes Differenzieren nach Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ die Resultate für ein allgemeines n erhalten lassen.

Meine Ideen:
Ich verstehe nicht, wenn ich n=0 setze, egal wie ich es nun Integriere und Differenziere, das n ist weg. Wie komme ich auf dieses allgemeine n ?

Ich bin ratlos
Danke vielmal für jede Hilfe

04.11.2014, 00:26

trara

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RE: (komplizierte) Integrale herleiten
Hallo
Hast du denn mal 2 oder 3 mal nach \lambda abgeleitet
was passsiert mit dem x
Gruß trara

04.11.2014, 09:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ratlos92
$\begin{eqnarray*} I_{n}(\lambda )=\int_0^\infty \! \, dx x^ne^-\lambda x=n!\lambda ^{-n+1} \end{eqnarray*}$

Es ist fatal, hier die notwendige Klammer im Exponenten wegzulassen: Richtig ist

$\begin{align*} \int\limits_0^\infty x^n e^{-\lambda x} ~ \dd x = n!\lambda^{-{\color{red}(}n+1{\color{red})}} = n!\lambda^{-n-1} \end{align*}$ .

04.11.2014, 14:54

Ratlos92

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@HAL 9000
argh das stimmt natürlich da fehlt die klammer, danke vielmal für die korrektur.

@trara
Ich bekomme 1 Ableitung der Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} I_{n}(\lambda ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{n} e^{-\lambda x} \end{eqnarray*}$
2 Ableitung
$\begin{eqnarray*} -x^{n+1} e^{-\lambda x} \end{eqnarray*}$
3 Ableitung
$\begin{eqnarray*} x^{n+2} e^{-\lambda x} \end{eqnarray*}$
4 Ableitung
$\begin{eqnarray*} -x^{n+3} e^{-\lambda x} \end{eqnarray*}$

Soweit rechnen kann ich es, aber was mach ich nun damit ? Auch der Hinweis der bei der Aufgabe gegeben ist
(Berechne dazu zunächst die Integrale $\begin{eqnarray*} I_{o}(\lambda ) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} J_{o}(\lambda ) \end{eqnarray*}$ und zeige dann, dass sich aus diesem Resultat durch wiederholtes Differenzieren nach Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ die Resultate für ein allgemeines n erhalten lassen.)

irritiert mich. Wie fahre ich am besten weiter ?

04.11.2014, 15:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ratlos92
Ich bekomme 1 Ableitung der Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} I_{n}(\lambda ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{n} e^{-\lambda x} \end{eqnarray*}$

$\begin{align*} I_n(\lambda) \end{align*}$ ist eine Funktion von $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ , die als bestimmtes Integral definiert wird - der Wert $\begin{align*} I_n(\lambda) \end{align*}$ hängt daher nicht von der (inzwischen "wegintegrierten") Variable $\begin{align*} x \end{align*}$ ab. unglücklich

Was bitte verstehst du dann unter der "Stammfunktion von $\begin{align*} I_n(\lambda) \end{align*}$ " ? verwirrt

04.11.2014, 17:00

Ratlos92

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mit der Stammfunktion meine ich die funktion integriert, die erste ableitung davon ist ja wieder sich selbst.

Und entschuldige aber ich verstehe nicht ganz, es wurde nach lambda abgeleitet wie Trara mir geraten hat aber ich verstehe immer noch nicht ganz was ich zu tun habe.
Das rechnen ist nicht primär das problem, ich verstehe den Lösungsansatz nicht.

04.11.2014, 17:08

HAL 9000

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Ich habe den Eindruck, du verstehst gar nicht, was man von dir hier will. Zugegeben, das ist oben nicht gerade sehr klar und deutlich formuliert. unglücklich

Definiert ist

$\begin{align*} I_n(\lambda) := \int\limits_0^{\infty} x^n e^{-\lambda x} ~ \dd x \end{align*}$ ,

was abgeleitet nach $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ dann

$\begin{align*} I_n'(\lambda) := \int\limits_0^{\infty} x^n e^{-\lambda x}\cdot (-x) ~ \dd x = -\int\limits_0^{\infty} x^{n+1} e^{-\lambda x} ~ \dd x \end{align*}$

ergibt, was man auch $\begin{align*} -I_{n+1}(\lambda) \end{align*}$ schreiben könnte. (*)

Was du nun anscheinend zeigen sollst ist, dass die Darstellung $\begin{align*} I_n(\lambda) = n!\lambda^{-(n+1)} \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n\geq 0 \end{align*}$ richtig ist. Und das erledigt man zweckmäßigerweise per Vollständiger Induktion, wobei man im Induktionsschritt Eigenschaft (*) nutzt.

04.11.2014, 18:34

Ratlos92

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Ich glaube es wird mir schon etwas klarer was gemeint ist, auf eine saubere Lösung komme ich aber noch immer nicht.

Ich finde nicht heraus wie ich auf das rechte Resultat komme, ich scheine immer noch nicht strategisch genug vorzugehen, egal wie ich es drehe und wende, entweder verschwindet x nicht oder n verschwindet.

04.11.2014, 18:56

Ratlos92

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Auch beim durchrechnen mit dem Hinweis bleib ich stecken:
$\begin{eqnarray*} I_{0}=(\lambda )\int_0^\infty \! \, dx x^{0}e^{-\lambda x} =\frac{-e^{-\lambda x} }{\lambda } \end{eqnarray*}$

Ableiten nach lambda ergibt anschliessend
1.Ableitung
$\begin{eqnarray*} e^{-\lambda x} \end{eqnarray*}$
2.Ableitung
$\begin{eqnarray*} -xe^{-\lambda x} \end{eqnarray*}$
3.Ableitung
$\begin{eqnarray*} x^{2}e^{-\lambda x} \end{eqnarray*}$

04.11.2014, 19:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ratlos92
Auch beim durchrechnen mit dem Hinweis bleib ich stecken:
$\begin{eqnarray*} I_{0}=(\lambda )\int_{{\color{red}0}}^{{\color{red}\infty}} \! \, dx x^{0}e^{-\lambda x} =\frac{-e^{-\lambda x} }{\lambda } \end{eqnarray*}$

Ich hab es oben gesagt, jetzt werde ich etwas nachdrücklicher: Da links steht ein bestimmtes Integral! Forum Kloppe

Wenn du also so freundlich wärst, das auszurechnen, statt erneut rechts mit diesen x rumzuoperieren, die da nicht das geringste zu suchen haben.

04.11.2014, 19:55

Ratlos92

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$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{\infty e^{\infty x} } + \frac{1}{0e^{0x} } \end{eqnarray*}$

Tschuldigung, würde mir ja auch gut tun wenn ich nicht fragen müsste aber was genau bringt mir das jetzt ?

04.11.2014, 20:10

HAL 9000

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Es bringt dich dazu, endlich mal die Behauptung

Zitat:

Original von HAL 9000
Was du nun anscheinend zeigen sollst ist, dass die Darstellung $\begin{align*} I_n(\lambda) = n!\lambda^{-(n+1)} \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n\geq 0 \end{align*}$ richtig ist.

als solche zu begreifen. Aber anscheinend hast du daran kein Interesse - so wie ich jetzt auch nicht mehr an diesem Thread. Wink

EDIT: Und das Einsetzen hast du auch noch vermasselt: $\begin{align*} x \end{align*}$ ist die Integrationsvariable, nicht $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ .

04.11.2014, 20:13

Ratlos92

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Tschüss thx

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