Lie Algebra, Lie Gruppen und Vektorfelder

04.11.2014, 00:26	Vektorling	Auf diesen Beitrag antworten »
Lie Algebra, Lie Gruppen und Vektorfelder Hallo, ich lerne grade etwas über Lie Gruppe und Lie Algebra um die Eichtheorie über Prinzipalbündel zu verstehen, aber ich habe ein paar konzeptuelle Problem, ich fange einfach mal an Seien $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ Elemente der Lie Gruppe $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ , die Linkstranslation $\begin{eqnarray} L_{a}: G \rightarrow G \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ist definiert durch : $\begin{eqnarray} L_{a}g=ag \end{eqnarray}$ welches eine Abbildung induziert $\begin{eqnarray} L_{a}: T_{g}G \rightarrow T_{ag}G \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ein Vektorfeld der Lie Gruppe $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist ein links invariantes vektorfeld wenn $\begin{eqnarray} L_{a}X\|_{g}=X\|_{ag} \end{eqnarray}$ . Ein Vektor $\begin{eqnarray} V \in T_{e}G \end{eqnarray}$ definiert ein links invariantes Vektorfeld $\begin{eqnarray} X_{V} \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ durch: $\begin{eqnarray} X_{V}\|_{g}= L_{g}V \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} g \in G \end{eqnarray}$ Der Autor des Buches gibt nun ein Beispiel von einem links-invarianten Vektorfeld von $\begin{eqnarray} GL(n,\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ : Seien $\begin{eqnarray} g={x^{ij}(g)} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a={x^{ij}(a)} \end{eqnarray}$ Elemente von $\begin{eqnarray} GL(n,\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ wo $\begin{eqnarray} e= I_{n}=\delta^{ij} \end{eqnarray}$ das Einselement ist. Die linkstranslation ist: $\begin{eqnarray} L_{a}g=ag=\Sigma x^{ik}(a)x^{kj}(g) \end{eqnarray}$ Nun bei dem Vektorfeld $\begin{eqnarray} V=\Sigma V^{ij}\frac{\partial}{\partial x^{ij}}\|_{e} \in T_{e}G \end{eqnarray}$ wo $\begin{eqnarray} V^{ij} \end{eqnarray}$ die Einträge von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ sind. Das linksinvariante Vektorfeld generiert von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ist: $\begin{eqnarray} X_{V\|_{g}}=L_{g}V=\Sigma V^{ij}\frac{\partial}{\partial x^{ij}}\|_{e}x^{kl}(g)x^{lm}(e) \frac{\partial}{x^{km}}\|_{g}= \Sigma V^{ij}x^{kl}(g) \delta^{l}_{i} \delta^{m}_{j} \frac{\partial}{\partial x^{km}}\|_{g}= \Sigma x^{ki}(g)V^{ij} \frac{\partial}{\partial x^{kj}}\|_{g}= \Sigma (gV)^{kj} \frac{\partial}{\partial x^{kj}}\|_g \end{eqnarray}$ Hier ist $\begin{eqnarray} gV \end{eqnarray}$ die übliche Matrizenmultiplikation. Was bedeutet es wenn man einen Tangentialvektor an dem Einselement einer Lie Gruppe hat? Was bedeutet das anschaulich? Vielleicht hilft diese Aufgabe ein wenig dabei: Sei $\begin{eqnarray} c(s)=\begin{pmatrix} cos s & -sin s & 0 \\ sin s & cos s & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ eine Kurve in $\begin{eqnarray} SO(3) \end{eqnarray}$ . Berechne den Tangentialvektor an $\begin{eqnarray} I_{3} \end{eqnarray}$ . Und warum wird überhaupt ein linksinvariantes Vektorfeld induziert? Und was ist überhaupt ein links-invariantes Vektorfeld anschaulich? Und was bedeutet es wenn ein Vektor ( $\begin{eqnarray} V^{ij} \end{eqnarray}$ )mehrere Indizes hat? Kann mir jemand das Beispiel erklären?

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