Diskrete Zufallsvariable und erzeugte Sigma Algebra

04.11.2014, 06:58	Samyyy	Auf diesen Beitrag antworten »
Diskrete Zufallsvariable und erzeugte Sigma Algebra Hallo, gegeben einene Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray} (\Omega, \mathcal{F}, P) \end{eqnarray}$ und eine Zufallsvariable $\begin{eqnarray} f:\Omega\rightarrow \mathbb{N} \end{eqnarray}$ . Stimmt es, dass die Sigma Algebra $\begin{eqnarray} \sigma (T) \end{eqnarray}$ die von T auf $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ erzeigt wird beschrieben werden kann als beliebige Vereinigungen von Mengen der Form: $\begin{eqnarray} U_n:=\lbrace f=n \rbrace= \lbrace \omega\in\Omega : f(\omega)=n \rbrace \end{eqnarray}$ ? Und noch eine Frage: Spricht man in so einer Situation davon, dass die Mengen $\begin{eqnarray} U_n \end{eqnarray}$ die "Atome" der Sigma Algebra $\begin{eqnarray} \sigma(T) \end{eqnarray}$ sind? Viele Grüße
04.11.2014, 08:59	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Einmal sprichst du von $\begin{align} T \end{align}$ , dann von $\begin{align} f \end{align}$ - ich nehme an, du meinst damit dieselbe Funktion? In allen Punkten: Ja, das siehst du völlig richtig - es folgt auch unmittelbar aus der Messbarkeitsdefinition, wenn wir auf dem Bildraum $\begin{align} \mathbb{N} \end{align}$ dessen Potenzmenge als Sigma-Algebra zugrundelegen (was auch sonst). Und auch die Bezeichnung "Atom" bzw. "atomare Mengen" ist da durchaus üblich, denn innerhalb von $\begin{align} \sigma(T) \end{align}$ besitzen diese Mengen keine nichtleeren echten Teilmengen, sind also "unteilbar" (was átomos ja im griechischen bedeutet).
04.11.2014, 12:18	Samyyy	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Ja, T und f sind hier dieselben Zufallsvariablen.

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