Stetigkeit zusammengsetzte Funktion

04.11.2014, 11:47

Denise90

Stetigkeit zusammengsetzte Funktion

Meine Frage:
Liebe Mathe-Freunde,

Ich bräuchte eure Hilfe bei einer Aufgabe der Analysis.

Aufgabe:
Sei f:[0,1] --> [0,1] definiert durch

x für x e Q
f(x):=
1-x für x kein Elemet von Q

Wo ist f stetig? Beweisen Sie ihre Antwort mit dem Epsilon-Delta-Kriterium.

Ich hoffe es kann mir jemand weiterhelfen. Bin echt am verzweifeln unglücklich

Viele Grüße
Denise

Meine Ideen:
Ich habe Schwierigkeiten zu verstehen, inwiefern ich bei folgender Aufgabe das Intervall beachten muss und auch verstehe ich nicht so recht wie man bei der Stetigkeit bei einer zusammengesetzten Funktion vorgeht

04.11.2014, 11:50

bijektion

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Du meinst $\begin{eqnarray*} f:[0,1]\to [0,1], x\mapsto \begin{cases} x & x\in\mathbb{Q} \\ 1-x & x\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q} \end{cases} \end{eqnarray*}$ ?

Nimm doch mal einen Punkt $\begin{eqnarray*} x\in [0,1]\cap\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ , was ist dann $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ?

04.11.2014, 12:01

Denise90

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Genau so sollte die Funktion aussehen smile

Setze ich x=0 ist auch der Wert 0 und fü x=1 wäre es auch 1?

Leider verstehe ich nicht worauf es hinaus soll 😕

04.11.2014, 12:06

bijektion

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Zitat:

Setze ich x=0 ist auch der Wert 0 und fü x=1 wäre es auch 1?

Ja, das ist trivial. Natürlich kannst du für feste $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ berechnen, du musst dir aber anschauen, wie $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [0,1]\cap\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ aussieht.

Zuerst kannst du dir aber auch den Nullpunkt ansehen. Wie bereits gesagt, ist $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ . Wenn du dann ein $\begin{eqnarray*} 0<\varepsilon<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ wählst, kannst du dazu ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ finden welches die Voraussetzung des $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Kriteriums erfüllt?

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