Rechten und linken Limes bestimmen

04.11.2014, 10:49

Nina121

Rechten und linken Limes bestimmen

Hallo,

ich verstehe nicht wie ich zeigen soll das eine Funktion eine Regel-Funktion ist.

Gegeben ist:

$\begin{eqnarray*} \left[-1,1 \right] \to \mathbb R , x \to \left\{ x^2, \text{ falls ein } k \in \mathbb Z /\left\{ 0\right\} \text{ existiert mit } x=\frac{1}{k} , \right. \\ 0 \text{ sonst}<br /> \end{eqnarray*}$

Meine Idee, zugegeben etwas unbeholfen, aber immerhin ist es eine Idee:

a) Kann ich behaupten x^2 ist stetig für alle rationalen Zahlen, für alle Ganzzähliger Nenner
und
b) überall dort wo die Funktion auf irrationale Zahlen Trifft, nimmt sie den Wert 0 an (Keine Ahnung ob mir das weiterhilft)

Wie zeige ich den linksseitigen bzw Rechtsseitigen limes? Wie muss ich da ansetzen?
So?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -1^{-} } x \end{eqnarray*}$ \\ für den linksseitigen limes

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1^{+}} x \end{eqnarray*}$ \\ für den rechtsseitigen limes

Wie bestimme ich den limes richtig?

04.11.2014, 10:55

bijektion

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Die Funktion sei mit $\begin{eqnarray*} g:\left[-1,1 \right] \to \mathbb R ,\begin{cases} x^2 & x=\frac{1}{k} \text{ mit } k\in\mathbb{Z} \backslash \left\{ 0\right\} \\ 0 & \text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ bezeichnet.

Zitat:

a) Kann ich behaupten x^2 ist stetig für alle rationalen Zahlen, für alle Ganzzähliger Nenner und

Da kann $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ aber auch $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein...

Schau dir $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ doch erstmal auf irrationalen Punkten an, was passiert dort?

04.11.2014, 11:06

Nina121

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dort hat die Funktion den Wert null...

In meiner Vorstellung springt die Funktion an diese Stellen (Hat Ausreißer) und sonst ist sie Parabel ähnlich wegen x^2)

Eine Regelfunktion ist eine Sprungstetige Funktion.Also eine Funktion, deren einzige Unstetigkeitsstellen Sprungstellen sind... Ist es also eine Rgelfunktion? Auch wenn diese Sprungstellen stark vorhanden sind ?

04.11.2014, 11:09

bijektion

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Zitat:

In meiner Vorstellung springt die Funktion an diese Stellen (Hat Ausreißer) und sonst ist sie Parabel ähnlich wegen x^2)

Auf $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2},1) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ konstant $\begin{eqnarray*} =0 \end{eqnarray*}$ , wie soll sie sich dort ähnlich wie $\begin{eqnarray*} x\mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ verhalten?

Warum versuchst du nicht, eine Treppenfunktion zu konstruieren, die gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ konvergiert?

04.11.2014, 11:17

Nina121

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Zitat: Warum versuchst du nicht, eine Treppenfunktion zu konstruieren, die gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ konvergiert?

weil ich es nicht kann. Ich weiß nicht wie. Weißt du ob ich Funktionen online plotten kann? Scheinbar ist meine Vorstellung der Funktion auch falsch.

04.11.2014, 11:21

bijektion

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Zitat:

Weißt du ob ich Funktionen online plotten kann?

Das könnte schwierig werden...

Du erkennst doch, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ symmetrisch um den Nullpunkt ist oder?

04.11.2014, 11:43

Nina121

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Schade...

Ja...

04.11.2014, 12:18

bijektion

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Gut, dann reicht es erstmal eine Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} g_n:[0,1]\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ zu konstruieren, die gegen $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ konvergiert (zumindest auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ , wegen der Symmetrie wird die Verallgemeinerung auf $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ nicht schwer).

Wie könnte die aussehen? Versuch $\begin{eqnarray*} g_n \end{eqnarray*}$ so zu wählen, dass $\begin{eqnarray*} ||g-g_n||_{\infty}\leq\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ ist.

Hast du schon eine Idee?

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