3 > (1+1/n)^n >= 2; vollst. Induktion

04.11.2014, 15:14	Saiko-San	Auf diesen Beitrag antworten »
3 > (1+1/n)^n >= 2; vollst. Induktion Aufgabe: Zeigen Sie: Für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} 3 > \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n} \geq 2 \end{eqnarray}$ Beweis durch vollständige Induktion: IA: n = 1: $\begin{eqnarray} \left(1+\frac{1}{1} \right)^{1} = 2^{1} = 2 \end{eqnarray}$ IV: Es gelte $\begin{eqnarray} 3 > \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n} \geq 2 \end{eqnarray}$ IS: n -> n+1 z.Z.: $\begin{eqnarray} 3 > \left(1 + \frac{1}{n+1} \right)^{n+1} \geq 2 \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} 3 > \left(1 + \frac{1}{n+1} \right)^{n} \left(1 + \frac{1}{n+1} \right)\geq 2 \end{eqnarray}$ Meine Überlegungen sind nun folgende: Aus der Vorlesung ist bekannt, dass $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n}\right) = 0 \end{eqnarray}$ , also gilt auch $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n+1}\right) = 0 \end{eqnarray}$ , also gilt auch $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n+1} \right) = 1 \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n+1} \right)^{n} * \left(1 + \frac{1}{n+1} \right) = \left(1 + \frac{1}{n+1} \right)^{n} \end{eqnarray*}$ Ich komme nur gerade mit dem n+1 im Nenner nicht weiter und vor allem, wie ich das umformen kann, dass ich die exakte Induktionsvoraussetzung anwenden kann. Ich wäre sehr dankbar um ein wenig Hilfe.
04.11.2014, 15:25	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Die letzte Gleichung kann nicht stimmen. Du nimmst den Grenzwert von zwei Folgen und erhälst eine weitere Folge? Sollt ihr das via vollst. Induktion lösen oder war das dein Weg der Wahl? Denn so richtig sehe ich keinen Gewinn dadurch, letztlich läuft es auch dabei darauf hinaus zu beweisen, dass (1+1/n)^n < 3 ist (>= 2 folgt sofort aus der bernoulli-Ungleichung)
04.11.2014, 15:31	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Da $\begin{align} n\mapsto \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \end{align}$ streng monoton wachsend ist, dürfte sich die linke Ungleichung $\begin{align} 3 > \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \end{align}$ schon prinzipiell nicht in dieser Weise durch Vollständige Induktion nachweisen lassen. Anders sieht es aus, wenn man die streng monoton fallende Funktion $\begin{align} n\mapsto \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n+1} \end{align}$ nutzt, damit klappt folgende Variante: Zeige $\begin{align} 3 > \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n+1} \end{align}$ für alle $\begin{align} n\geq n_0 \end{align}$ durch Vollständige Induktion, wobei du ein passendes $\begin{align} n_0 \end{align}$ noch finden musst. Für die einzelnen paar $\begin{align} n \end{align}$ mit $\begin{align} n<n_0 \end{align}$ zeigst du $\begin{align} 3 > \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \end{align}$ per Einzelfallprüfung. ---------------------------------------------- Eine völlig andere Beweisvariante (ganz ohne Induktion) wäre die Abschätzung über den Binomischen Satz.
04.11.2014, 21:31	Saiko-San	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antworten; Induktion war meine Wahl, ist nicht vorgegeben. Bernoulli-Ungleichung muss ich mir mal anschauen, binomischen Satz auch. Hatten wir beide schon in der Vorlesung. Ich setze mich morgen mit einem Kommilitonen dran, dann berichte ich.

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