Kurve hat keinen Faktor von Grad 1 oder 2

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mathemensch123 Auf diesen Beitrag antworten »
Kurve hat keinen Faktor von Grad 1 oder 2
Hallo nochmal,

wie zeige ich von der Kurve , dass sie keinen Faktor von Grad 1 oder 2 hat?

Ich weiß, f hat drei singuläre Punkte: (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0) und f besteht aus unendlich vielen Punkten.
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nochmal Alg. Gemoetrie: Kurve hat keinen Faktor von Grad 1 oder 2 - nun andere Kurve
Guten Morgen,

nur eine Verständnisfrage: Kann es sein, dass der Funktionsterm eigentlich so heißen sollte(?):




... und weg Wink
mathemensch123-gast Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich habe nachgefragt - das ist so korrekt.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist noch nicht mal eine Kurve verwirrt

Ist evtl. die Homogenisierung dieses Polynoms gemeint? Und desweiteren sind doch sowohl als auch Faktoren vom Grad 2.
mathemensch123 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh mann, sorry mein Fehler...Natürlich ist das so falsch^^

Es geht um . Sorry dafür.
trara Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurve hat keinen Faktor von Grad 1 oder 2
Hallo
das ist doch keine Kurve? poste mal die Orginalaufgabe, vielleicht macht die Sinn. meinst du vielleicht z=f(x,y) das wäre wenigstens eine Fläche oder die Funktion f(x,y)=0 das ist eine Kurve
Gruß ledum
 
 
mathemensch123 Auf diesen Beitrag antworten »

"Betrachte das Polynom .

a) Zeige, dass f an den Punkten (0,0,1),(0,1,0),(1,0,0) singulär ist.
b) Zeige, dass f aus unendlich viele Punkten besteht.
c) Zeige, dass f keinen Faktor vom Grad 1 oder 2 hat."
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Naja ich würde sagen wir verlassen dann mal die Geometrie und gehen das rein algebraisch an. Es ist nämlich recht leicht zu zeigen, dass irreduzibel ist. Insbesondere gibt es keinen Faktor vom Grad 1 oder 2.
mathemensch123 Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre das nicht relativ aufwendig? Man müsste doch dann alle Fälle für die verschiedenen auftretenden Grade durchgehen, oder?

Könnte ich auch wie folgt argumentieren?

1. Hätte f einen Faktor vom Grad 1, so wäre f entweder ein Produkt aus vier Geraden (kann nicht sein, da singuläre Punkte vorhanden sind), aus einer Gerade und einer Kurve vom Grad 2 (kann auch nicht sein, da singuläre Punkte vorhanden sind) oder ein Produkt aus einer Gerade und einer Kurve vom Grad 3. Im letzten Fall kann f aber nur eine Singularität haben - oder?

2. Analog wenn f aus zwei Faktoren vom Grad 2 besteht...
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathemensch123
Wäre das nicht relativ aufwendig? Man müsste doch dann alle Fälle für die verschiedenen auftretenden Grade durchgehen, oder?


ist als Element von vom Grad 2, primitiv und ohne Nullstellen, also irreduzibel. Fertig! Der Aufwand hält sich in Grenzen, oder? Augenzwinkern


Zitat:
Original von mathemensch123
1. Hätte f einen Faktor vom Grad 1, so wäre f entweder ein Produkt aus vier Geraden (kann nicht sein, da singuläre Punkte vorhanden sind)


Diese Argumentation sehe ich nicht ein.

hat auch singuläre Punkte (besteht sogar nur aus solchen), ist aber Produkt von 4 Faktoren vom Grad 1.

Oder ein weniger pathologisches Beispiel:
ist Produkt von 4 verschiedenen Geraden, aber trotzdem gibt es (wie in der Aufgabe) 3 singuläre Punkte, nämlich (0,0), (1,0) und (2,0).
mathemensch123 Auf diesen Beitrag antworten »

Warum hat f keine Nullstellen?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Das passiert, wenn man Geometrie macht, bevor man die Algebra verstanden hat...

Du hast einen faktoriellen Ring R, Elemente und das Polynom . Dann sollte klar sein, dass das Polynom genau dann Nullstellen hat, wenn ein Quadrat in R ist.
mathemensch123 Auf diesen Beitrag antworten »

natürlich, danke!
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