Fehler Histogrammregel

05.11.2014, 09:03

Romaxx

Fehler Histogrammregel

Hallo zusammen,
ist eine Dichteschätzung $\begin{eqnarray*} \overline h:\mathbb R^d\to [0,\infty) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \overline h \in\mathbb L_2 (\mu) \end{eqnarray*}$ gegeben, betrachte

$\begin{eqnarray*} S (\overline h) = 2\int_{\mathbb R^d}\frac {h+\overline h^2}{(\overline h+1)^2}d\mu \end{eqnarray*}$

Zeigen das $\begin{eqnarray*} S (\overline h)= inf_{\hat h \in \mathbb L_2 (\mu)} S(\hat h) \end{eqnarray*}$ genau dann wenn $\begin{eqnarray*} \hat h = h \end{eqnarray*}$ Mü- fastüberall.

05.11.2014, 09:10

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Romaxx
$\begin{eqnarray*} S (\overline h) = 2\int_{\mathbb R^d}\frac {h+\overline h^2}{(\overline h+1)^2}d\mu \end{eqnarray*}$

Hmmm, ich hätte hier eher sowas wie

$\begin{eqnarray*} S(h) = 2\int_{\mathbb R^d}\frac {h^2+\overline h^2}{(\overline h+1)^2}d\mu \end{eqnarray*}$

erwartet... überprüfe nochmal ganz genau diese Formel. Zumindest das mit dem Argument $\begin{eqnarray*} \overline h \end{eqnarray*}$ kann nicht sein, das ist ja fest vorgegeben. unglücklich

05.11.2014, 09:35

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, es steht genauso auf dem Übungsblatt.

05.11.2014, 09:44

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, hab's mir nochmal durchgelesen - es ist verwirrend formuliert: Es ist also nicht $\begin{align*} \bar{h} \end{align*}$ fest vorgegeben, denn das ist ja die Variable in deiner Funktion $\begin{align*} S \end{align*}$ . verwirrt

Vielmehr scheint doch $\begin{align*} h \end{align*}$ fest vorgegeben zu sein?

------------------------------------------------------

Hinweise:

1) Zeige, dass für festes $\begin{align*} t_0\geq 0 \end{align*}$ die Hilfsfunktion

$\begin{align*} g(t) = \frac{t_0+t^2}{(t+1)^2} \end{align*}$ für $\begin{align*} t\geq 0 \end{align*}$

die eindeutige Minimumstelle $\begin{align*} t=t_0 \end{align*}$ hat, d.h., dass $\begin{align*} g(t)>g(t_0) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} t>0,t\neq t_0 \end{align*}$ gilt.

2) Aus der Maßtheorie sollte folgende Eigenschaft bekannt sein: Für $\begin{align*} f\geq 0 \end{align*}$ gilt $\begin{align*} \int f ~ \dd\mu \geq 0 \end{align*}$ , sowie

$\begin{align*} \int f ~ \dd\mu = 0 \;\Leftrightarrow\; f=0\quad \mu-\mbox{f.ü.} \end{align*}$ .

Beides geeignet kombiniert folgt die Behauptung im Nu.

Neue Frage »

Antworten »

Fehler Histogrammregel

Verwandte Themen