(1-i)^n in kartesischer Form darstellen

05.11.2014, 10:31

Icke_1966

(1-i)^n in kartesischer Form darstellen

Meine Frage:
Hallo Zusammen smile

Die Aufgabe heißt stellen Sie die komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} z=(1-i)^{n} \end{eqnarray*}$
in kartesischer Form (a+ib) dar.

Dabei ist n eine gerade Zahl. Also z.B. 20

Meine Ideen:
Mein Ansatz ist quasi

$\begin{eqnarray*} (1-i)^{20}= 1^{20}-20\cdot 1\cdot i +i^{20} = 1-20i-1 = -20i \end{eqnarray*}$

Ist das richtig? dann wäre a = 0 und b= -20?

05.11.2014, 10:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von Icke_1966
$\begin{eqnarray*} (1-i)^{20}= 1^{20}-20\cdot 1\cdot i +i^{20} \end{eqnarray*}$

Über diese seltsame Rechnung decken wir mal gnädig den Mantel des Schweigens.

------------------------------------------

Das Potenzgesetz $\begin{align*} (z^a)^b = z^{a\cdot b} \end{align*}$ gilt auch für komplexe $\begin{align*} z \end{align*}$ , sofern $\begin{align*} a,b \end{align*}$ natürliche Zahlen sind, es gilt demnach

$\begin{align*} (1-i)^{20} = \left( (1-i)^2 \right)^{10} \end{align*}$ ,

probier es lieber mal über diesen Weg.

05.11.2014, 10:47

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} (1-i)^{20}= 1^{20}-20\cdot 1\cdot i +i^{20} \end{eqnarray*}$

Das ist leider komplett falsch.
Du hast offenbar an (a-b)²=a²-2ab+b² gedacht und hast bei deinem Beispiel irgendwie dasselbe versucht und die 2 nur durch 20 ersetzt.
So funktioniert das jedoch nicht, allein auch schon für $\begin{eqnarray*} (a-b)^1 \end{eqnarray*}$ klappt das ja schon nicht.

Du kannst dir die Aufgabenstellung natürlich durch Beispiele klarmachen, lösen musst du die Aufgabe aber nachher allgemein, also wirklich für die in der Aufgabe angegebene komplexe Zahl z.

Ein sinnvoller Anfang wäre es hier, sich erstmal klar zu machen, wie man "n muss gerade sein" noch mathematisch ausdrücken kann, denn dann gilt ja n=...

Damit ergibt sich nämlich nachher durch Anwendung eines Potenzgesetzes eine erhebliche Vereinfachung für die gegebene komplexe Zahl.

Edit:

Ok HAL hat dann ja schon alles verraten. Big Laugh

Mach mit ihm weiter (ich lasse meinen Beitrag trotzdem stehen, weil zumindest noch ein paar nähere Erklärungen/Ausführungen enthalten sind).

05.11.2014, 11:56

Icke_1966

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-.-
Also wenn
$\begin{eqnarray*} z=((1-i)^{2})^{10} z=(-2i)^{10} z= -4^5 = - 1024 \end{eqnarray*}$

aber wo ist da denn die kartesische Form??? oder ist - 1024 genau diese?

05.11.2014, 12:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von Icke_1966
aber wo ist da denn die kartesische Form???

Wenn's dir Spaß macht, kannst du ja $\begin{align*} -1024 + 0i \end{align*}$ schreiben. Big Laugh

Aber ja, eine rein reelle Zahl ist auch kartesische Form - der Imaginärteil ist dann eben gleich Null, ohne dass man ihn noch hinschreibt.

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