Folge mit allen Elementen aus R als Häufungspunkte

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newStudent Auf diesen Beitrag antworten »
Folge mit allen Elementen aus R als Häufungspunkte
Meine Frage:
Hallo zusammen,
Ich sitze gerade vor folgender Aufgabe:


Meine Ideen:
Ich habe mir überlegt, die Folge rekursiv zu definieren. Dazu könnte ich ja Cantorsche Diagonalverfahren verwenden. Da mein n ja beliebig groß werden kann, wird ka jedes Element aus R beliebig genau angenähert.
Allerdings ist ja R überabzählbar und N nur anzählbar. Ist meine Folge deshalb falsch?
Und falls ich doch richtig liege: Ist es möglich, das Verfahren implizit als folge zu schreiben oder reicht es die Bildung der Folge zu beschreiben?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge mit allen Elementen aus R als Häufungspunkte
In jeder -Umgebung einer irrationalen Zahl liegt eine rationale Zahl. Die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar. Führ das mal zusammen.
newStudent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge mit allen Elementen aus R als Häufungspunkte
Tut mir leid, irgendwie versteh ich nicht so ganz was du mir damit sagen willst..
So wie ich das interpretiere würde das ja bedeuten, dass auch die irrationalen Zahlen abzählbar sind, da ja in der epsilon-Umgebung jeder dieser Zahlen auch eine rationale Zahl existiert?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge mit allen Elementen aus R als Häufungspunkte
Warum sollten dann die irrationalen Zahlen abzählbar sein? Was ist denn die Definition für einen Häufungspunkt? Und gibt es deiner Ansicht nach eine irrationale Zahl, für die nicht in jeder -Umgebung unendlich viele rationale Zahlen liegen?
newStudent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge mit allen Elementen aus R als Häufungspunkte
Oh ja klar ich hatte grad irgendwie ein Brett vorm Kopf.. Ein Häufungspunkt ist ja genau dadurch definiert, dass er unendlich viele Elemente der Menge in seiner Umgebung hat. Das gilt ja für jede irrationale und natürlich auch für jede rationale Zahl.
Also erhält man durch das Cantorsche Diagonalverfahren ja wirklich eine Folge mit alles Elementen aus R als Häufungspunkte. smile Erst mal Danke für die Hilfe hierzu!
Bleibt nur noch die Frage ob ich die Bildungsvorschrift der Folge dann irgendwie mathematisch darstellen kann..
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge mit allen Elementen aus R als Häufungspunkte
Zitat:
Original von newStudent
Bleibt nur noch die Frage ob ich die Bildungsvorschrift der Folge dann irgendwie mathematisch darstellen kann..

Klar, du gehst alle rationalen Zahlen durch. Teilsequenzen bestehen aus allen rationalen Zahlen, deren Summe von Zähler und Nenner eine bestimmte Zahl ist:

Bildungsgesetz ist hoffentlich klar. Negative Zahlen müssen noch dazukommen, hab ich jetzt weggelassen. Kannst ja mal beweisen, dass dadurch jede rationale Zahl erfasst wird.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit ein wenig Bastelei kriegt man auch Folgen mit (noch einigermaßen lesbarer) expliziter Darstellung hin, z.B.:

,

besser zu verstehen mit Indexdarstellung für :

.

Der Nachweis, dass es auch mit dieser Folge klappt, wäre natürlich noch zu erbringen. Augenzwinkern
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