Doppelte Überschiebung von Tensoren

05.11.2014, 20:00	Keq	Auf diesen Beitrag antworten »
Doppelte Überschiebung von Tensoren Meine Frage: Ich habe eine Frage zu einer Rechenvorschrift, zu der ich keine mir genügende oder verständliche erklärung im Internet finde.. und zwar die Überschiebung, bzw doppelte Überschiebung von Matrizen bzw Tensoren. kann mir das vllt jmd an einem einfachen beispiel erklären? Meine Ideen:
06.11.2014, 10:10	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Überschiebung ist eine dir bekannte Rechenoperation, die lediglich mit einem neuen Namen (Überschiebung) belegt wird. Ich erkläre das an 3 Beispielen: ------------------------------------------------- Beispiel 1 (einfache Überschiebung): Lässt man eine Matrix (=Tensor der Stufe 2) auf einen Vektor (=Tensor der Stufe 1) wirken, entsteht ein neuer Vektor (=Tensor der Stufe 1), also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ y_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ In Indexschriebweise lautet dies $\begin{eqnarray} a_{ij}x_j=y_i \end{eqnarray}$ Das ist eine einfache Überschiebung des Index j, der nach der Summation weg ("überschoben") ist. --------------------------------------------------------- Beispiel 2 (einfache Überschiebung): Beim Skalarprodukt entsteht aus zwei Vektoren (2 Tensoren der Stufe 1) ein Skalar (=Tensor der Stufe 0), also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}=\text{Skalar} \end{eqnarray}$ In Indexschreibweise lautet das $\begin{eqnarray} x_iy_i=\text{Skalar} \end{eqnarray}$ Das ist eine Überschiebung des Index i, der nach der Summation weg ist. ------------------------------------------------- Beispiel 3 (doppelte Überschiebung): Bei einer quadratischen Form wirkt eine Matrix (=Tensor der Stufe 2) auf zwei Vektoren (=zwei Tensoren der Stufe 1). Dabei entsteht ein Skalar (=Tensor der Stufe 0), also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}=\text{Skalar} \end{eqnarray}$ In Indexschriebweise lautet dies $\begin{eqnarray} a_{ij}x_jy_i=\text{Skalar} \end{eqnarray}$ Das ist eine doppelte Überschiebung - nämlich über die beiden Indizes i,j. ----------------------------------------------- Allgemein Überschiebt man also einen Tensor der Stufe n mit einem Vektor der Stufe m, bekommt man einen Tensor der Stufe n+m-2. Denn eine Überschiebung ist nichts anderes als eine Summation über einen Index, der in beiden Tensoren gleichzeitig auftritt. Bei einer mehrfachen Überschiebung wird dieser Vorgang mehrmals gemacht, sofern in beiden Tensoren mehrere Indizes gleichzeitig auftreten.
06.11.2014, 20:13	##	Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarpunkt nicht vergessen! \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}

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