Tschebyscheff- Ungleichung: Anwendungs Aufgabe

06.11.2014, 01:00	xparet0209	Auf diesen Beitrag antworten »
Tschebyscheff- Ungleichung: Anwendungs Aufgabe Hi liebe Matheboardler, ich hab folgende Aufgabe bekommen: $\begin{eqnarray} <br /> \hat l = \sum\limits_{i = 1}^n 1_{\{X_i > g\}} <br /> \end{eqnarray}$ Dieses L-Dach sei der Standardschätzer für $\begin{eqnarray} l = P(X > g) \end{eqnarray}$ für eine Zufallsvariable X und einen Schwellwert g. Man soll nun mit Hilfe der Tschebyscheff- Ungleichung angeben, wie groß man n wählen muss, damit 99% der Schätzer L-Dach nur um 0.1 von l abweicht. Meine Überlegungen bisher: Ich definiere mir eine ZV Y wie folgt: $\begin{eqnarray} <br /> Y(w) = \left\{ {\begin{array}{{20}{c}}<br /> {0,w \leq g} \\ <br /> {1,w > g} <br /> \end{array}} \right.<br /> \end{eqnarray}$ Diese ist nun Bin(1,l) verteilt, da ja Erfolgswahrscheinlichkeit, also X > g durch l gegeben ist. Daruch ergeben sich dann Erwartungswert und Varianz der Verteilung: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{gathered}<br /> {\rm E}(Y) = l \hfill \\<br /> Var(Y) = l(1 - l) \hfill \\ <br /> \end{gathered} <br /> \end{eqnarray}$ Nun gilt nach der TSU: $\begin{eqnarray} <br /> \forall \varepsilon > 0:P(\|X - E(X)\| \geq \varepsilon ) \leq \frac{{Var(X)}}{{{\varepsilon ^2}}}<br /> \end{eqnarray}$ Allerdings weiß ich jetzt nicht wirlich wie ich die Bedingungen aus dem Aufgabentext übersetzten soll. Stimmt folgendes mit den Forderungen überein? $\begin{eqnarray} <br /> P(\|Y-\hat l\| \leq 0.1) \geq 0.99<br /> \end{eqnarray}$ Das ist ja relativ ähnlich zur TSU, nur das dort der Erwartungswert vorkommt. Nun geht aber nach dem Gesetzt der großen Zahlen $\begin{eqnarray} \hat l \end{eqnarray*}$ gegen den Erwartungswert. Also besteht da wohl irgendwo ein Zusammenhang. Allerdings versteh ich immer noch nicht wie ich damit auf die Anzahl n kommen soll. Ich hoffe Ihr könnt mir ein bisschen weiter helfen. Mfg xparet0209

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