Integrierbarkeit einer Zufallsvariable

06.11.2014, 08:29	Samyyy	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrierbarkeit einer Zufallsvariable Hallo, sei $\begin{eqnarray} (\Omega,\mathcal{F}, P) \end{eqnarray}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $\begin{eqnarray} (X_i)_{i\in\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ seien unabhängige Zufallsvariablen mit demselben Erwarrtungswert m und der Varianz v. Sei nun zusätzlich T eine Zufallsvariable mit Werten in $\begin{eqnarray} \mathbb{N} \end{eqnarray}$ , die von den $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ unabhängig ist. Ich möchte gerne zeigen, dass die Zufallsvariable $\begin{eqnarray} S_T\in L^1(\Omega,\mathcal{F}, P) \end{eqnarray}$ ist, wobei $\begin{eqnarray} S_T:=\sum\limits_{i=1}^T X_i \end{eqnarray}$ . Leider komme ich hierbei nicht weiter. Zum Beispiel: $\begin{eqnarray} \int_{\Omega} \vert S_T \vert = \int_{\Omega} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \vert \sum_{i=1}^n X_i \vert \cdot 1_{\lbrace T=n \rbrace } \end{eqnarray}$ Ich bin mir nun nicht sicher, wie ich weiter fortfahren soll. Ich habe mal angenommen, dass man die Summe über n und die Integration vertauschen kann (bin mir aber nicht sicher, ob das geht.) Aber auch das hat mir nicht weitergeholfen.... Habt ihr eine Idee? Bin ich auf dem richtigen Weg überhaupt? Viele Grüße

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