Vektoren Gerade

06.11.2014, 10:08

Baby15

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Vektoren Gerade

Hallo guten morgen ich habe gerade Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe:

Gegeben sei die Gerade g durch die Punkte $\begin{eqnarray*} \vec{p}= (1,-4 )^T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{q}= (9,12)^T \end{eqnarray*}$

(a) Bestimmen Sie die Gerade h durch den Punkt $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ , die senkrecht zu g verläuft.
(b) Berechnen Sie alle Punkte auf h, die einen Abstand von p
$\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ zu g haben.
(c) Geben Sie alle zu g parallele Geraden an, die den Abstand p $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ zu g haben.

Hat jemand tipps für mich für die a) ?

06.11.2014, 10:49

klarsoweit

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RE: Vektoren Gerade

Zitat:

Original von Baby15
(a) Bestimmen Sie die Gerade h durch den Punkt $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ , die senkrecht zu g verläuft.

Bestimme den Richtungsvektor der Geraden g sowie einen dazu senkrechten Vektor.

Ich schiebe das dann mal in den Schulbereich.

06.11.2014, 10:53

Baby15

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Wie betsimme ich den den Richtingsvektor ?

Kannst du mir das bitte erklären ?

Haben gerade mit dem Thema begonnen.

Aller Anfang ist schwer. Big Laugh

Big Laugh

06.11.2014, 11:10

Baby15

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Ich probiere mal den Richtungsvektor zu bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 9 \\ 12 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ -16 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In ordnung ?

Wie berechne ich einen dazu senkrechten Vektor?

06.11.2014, 11:15

klarsoweit

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Zitat:

Original von Baby15
Haben gerade mit dem Thema begonnen.

Also dafür hast du schon eine recht umfangreiche Aufgabe, für die man auch etwas mehr als Anfängerkenntnisse benötigt. geschockt

geschockt

Zitat:

Original von Baby15
Ich probiere mal den Richtungsvektor zu bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 9 \\ 12 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ -16 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Na also, geht doch.

Zitat:

Original von Baby15
Wie berechne ich einen dazu senkrechten Vektor?

Dazu bräuchte man das Skalarprodukt. Oder die Kenntnis der folgenden Regel:
auf den Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ steht der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} b \\ -a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ senkrecht.

06.11.2014, 11:20

Baby15

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Ich versuche mal deinen Tipp anzuwenden ,also so

( 16,-8)^T

Ich hoffe ich habe dich nicht falsch verstanden.

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06.11.2014, 12:40

klarsoweit

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OK, damit hast du nun einen möglichen Richtungsvektor. Jetzt kannst du die Gleichung für die Gerade h aufstellen.

06.11.2014, 13:01

Baby15

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Die frage wirkt vielleicht blöd.

Aber wie mache ich das genau verwirrt

verwirrt

06.11.2014, 13:07

klarsoweit

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Das Stichwort lautet: Punkt-Richtungs-Form.

Aber wie schon gesagt: man braucht eben für die Aufgabe mehr als nur Anfängerkenntnisse.

06.11.2014, 13:17

Baby15

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Ich habe mich grade ein wenig im Internet schlau gemacht

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ \end {pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 16 \\ -8 \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das LGS dazu wäre jetzt:

1+ 16t = 0

-4 -8t = 0

t = -1/16

Ist es das?

06.11.2014, 14:04

klarsoweit

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Zitat:

Original von Baby15
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ \end {pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 16 \\ -8 \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt nehmen wir mal davon die linke Seite und dann haben wir die Geradengleichung der Geraden h. Der Rest ist Unfug (jedenfalls für die hier zu lösende Aufgabe).

06.11.2014, 14:06

Baby15

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Was meinst du genau Klarsoweit ?

Ist meine rechnung nicht in Ordnung?

verwirrt

verwirrt

06.11.2014, 14:17

klarsoweit

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Zitat:

Original von Baby15
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ \end {pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 16 \\ -8 \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist eine Gleichung und nicht die Darstellung einer Geraden. Die Darstellung der Geraden h steht auf der linken Seite, also: $\begin{eqnarray*} h(t) = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end {pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 16 \\ -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Gleichung, die du da hast, wird gebraucht, wenn man prüfen will, ob die Gerade durch den Nullpunkt geht. Aber das ist ja hier nicht gefragt.

06.11.2014, 14:32

Baby15

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Ach so. Ich bin sozusagen schon mit der a) fertig Big Laugh

Big Laugh

Hast du auch paar Tips für die b) für mich ?

06.11.2014, 14:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von Baby15
Ach so. Ich bin sozusagen schon mit der a) fertig Big Laugh

Big Laugh

Richtig.

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Baby15
Hast du auch paar Tips für die b) für mich ?

Nun ja, du mußt vom Punkt P eine Strecke der Länge $\begin{eqnarray*} \sqrt 5 \end{eqnarray*}$ in Richtung des Richtungsvektors der Geraden h laufen. Du brauchst also als erstes einen Richtungsvektor der Geraden h, der genau die Länge 1 hat.

06.11.2014, 14:57

Baby15

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( 16,-8)^T = (1,1)^T

Meinst du es so?

Jetzt bekomme ich paar schwierigkeiten bei der Aufgabe traurig

traurig

Gruss

Baby

06.11.2014, 15:05

klarsoweit

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Ja, jetzt wird es langsam schwierig, vor allem, wenn du irgendwie autodidaktisch unterwegs bist.

Du brauchst einen Vektor der Länge 1, der in Richtung des Richtungsvektors $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 16 \\ -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zeigt. Das geht relativ simpel, indem man den Richtungsvektor durch seine Länge dividiert. smile

smile

EDIT: ich muß mich jetzt leider für heute ausklinken. Wink

Wink

06.11.2014, 15:11

Baby15

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Die Länge des Vektors ist :

$\begin{eqnarray*} \sqrt{16^2 +8^2} = 8*\sqrt{5} = 17,89 \end{eqnarray*}$

\frac{\begin{pmatrix} 16 \\ -8 \\ \end{pmatrix} }{17,89}

Kannst du mir nicht einen tipp geben oder so wie es weiter geht?

06.11.2014, 15:13

Baby15

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$\begin{eqnarray*} \frac{\begin{pmatrix} 16 \\ -8 \\ \end{pmatrix} }{17,89} \end{eqnarray*}$

Hat jemand anderer Lust den Thread zu übernehmen Big Laugh

Big Laugh

07.11.2014, 08:37

klarsoweit

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OK. Wenn wir das mal mit dem exakten Wert und nicht als Bruch, sondern als Produkt schreiben, haben wir:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8\sqrt 5} \cdot \begin{pmatrix} 16 \\ -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Einen Vektor der Länge Wurzel(5) bekommst du nun, wenn du den Einheitsvektor mit Wurzel(5) bzw. mit -1 * Wurzel(5) multiplizierst.

07.11.2014, 09:43

Baby15

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wenn ich -1*wurzel 5 multipliziere habe ich doch nur den Vektor *1/8 stehen?

07.11.2014, 09:57

klarsoweit

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Im Prinzip ja - ggf. noch mit der -1 davor.

07.11.2014, 10:09

Baby15

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$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{8} \cdot \begin{pmatrix} 16 \\ -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das war die b) schon ? Big Laugh

Big Laugh

07.11.2014, 10:24

klarsoweit

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Nun ja, nicht ganz. Du mußt diesen Vektor an den Punkt P hängen, um so zu einem Punkt zu gelangen, der auf der Geraden h liegt und Wurzel(5) vom Punkt P entfernt ist. Das ganze dann nochmal mit dem -1-fachen dieses Vektors.

07.11.2014, 10:32

Baby15

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[quote]Original von Baby15
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{8} \cdot \begin{pmatrix} 16 \\ -8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meinst du das so ? Ich bin mir nämlich nicht sicher

07.11.2014, 10:44

klarsoweit

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Genau. Damit erhältst du einen der beiden möglichen Punkte. Ein weiterer Punkt ist
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} \cdot \begin{pmatrix} 16 \\ -8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Das ganze kann man natürlich noch etwas zusammenfassen. smile

smile

07.11.2014, 12:21

Baby15

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[quote]Original von klarsoweit
Genau. Damit erhältst du einen der beiden möglichen Punkte. Ein weiterer Punkt ist
$\begin{eqnarray*} \ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix}= (3,-5) \end{eqnarray*}$ .

Wie soll ich jetzt den 2ten Punkt berechnen ?

Danke für deine Geduld mit mir.

07.11.2014, 12:43

klarsoweit

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Hier steht's:

Zitat:

Original von Baby15
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{8} \cdot \begin{pmatrix} 16 \\ -8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Meinst du das so ? Ich bin mir nämlich nicht sicher

Ich hoffe, du hast registriert, daß man von einem Punkt entlang einer Geraden in 2 Richtungen laufen kann, nämlich nach "links" oder nach "rechts". Entsprechend erfüllen 2 Punkte die in Aufgabe b verlangte Eigenschaft.

07.11.2014, 13:54

Baby15

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Soll ich also noch mal den einen Vektor mit ( -1,4)^T addieren oder wie ?

07.11.2014, 14:09

klarsoweit

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Nein, mit (1, -4)^T. smile

smile

07.11.2014, 14:12

Baby15

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Zitat:

Original von Baby15
[quote]Original von klarsoweit
Genau. Damit erhältst du einen der beiden möglichen Punkte. Ein weiterer Punkt ist
$\begin{eqnarray*} \ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix}= (3,-5) \end{eqnarray*}$ .

Wie soll ich jetzt den 2ten Punkt berechnen ?

Danke für deine Geduld mit mir.

Das habe ich doch hier schon gemacht oder nicht ? Ich bin grad verwirrt .

07.11.2014, 14:18

klarsoweit

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Also im Gesamtüberblick. Es gibt 2 Punkte:

Nr. 1: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} \cdot \begin{pmatrix} 16 \\ -8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nr. 2: $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{8} \cdot \begin{pmatrix} 16 \\ -8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Den ersten hast du ausgerechnet, den zweiten noch nicht.

07.11.2014, 14:28

Baby15

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Nr2 wäre :

( -1, -3)

Macht man das immer so ,dass man einmal + und einmal - nimmt ?

Bin ich nun mit der b) fertig?

07.11.2014, 14:42

klarsoweit

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Zitat:

Original von Baby15
Macht man das immer so ,dass man einmal + und einmal - nimmt ?

Wie ich schon sagte (wobei ich den Eindruck habe, ich rede hier viel in den blauen Dunst):
Du kannst von einem Punkt entlang einer Geraden in 2 verschiedene Richtungen laufen. Das sich drückt eben durch 2 verschiedene (allerdings gleich lange) Richtungsvektoren aus.
Und ja, damit ist Aufgabe b erledigt. smile

smile

07.11.2014, 14:44

Baby15

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Ok danke ich glaube ich hab es soweit verstanden.

Paar tips nch für die c)? smile

smile

07.11.2014, 14:53

klarsoweit

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Nun ja, eigentlich solltest du doch langsam die prinzipiellen Methoden der analytischen Geometrie verstanden haben. Du hast doch jetzt 2 Punkte, durch die Geraden gelegt werden sollen, die zur Geraden g parallel sind. Was du jetzt also brauchst, ist ein geeigneter Richtungsvektor. Welcher Richtungsvektor käme dafür in Frage?

07.11.2014, 14:58

Baby15

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Soll ich wieder mit dem Richtungsvektor ( -8,-16) arbeiten ?

07.11.2014, 15:08

klarsoweit

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Genau! (Alternativ geht auch ( 8, 16)).

So, dann klinke ich mich aus für die nächsten 3 Tage. Wink

Wink

07.11.2014, 15:29

Baby15

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Kannst du mir nicht kurz noch sagen wie ich ein wenig weiter vorgehen soll?

11.11.2014, 08:48

Baby15

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will hier noch jemand helfen ?

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