Nadeln und Fäden |
| 06.11.2014, 15:56 | Primsen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Nadeln und Fäden Ich habe eine Aufgabe zu lösen: Auf dem Umfang eines Kreises ist in gleichen Abständen eine Reihe von Nadeln angebracht. Nun wird an einer von ihnen ein Faden befestigt und danach mit irgendeiner zweiten verbunden, man lässt dabei (im Uhrzeigersinn) eine Lücke bzw. einen Abstand von L Zwischenräumen. Danach schlingt man den Faden um die dritte Nadel, wieder mit einer Lücke von L Zwischenräumen. Das wird so lange durchgeführt, bis die erste Nadel wieder erreicht wird. Dabei sind stets gleiche Abstände (= Lücken) einzuhalten. Sollte irgendeine Nadel noch nicht in den Prozess einbezogen worden sein, so beginnt man das Ganze von Neuem. Wenn Sie bei diesem Vorgang von N=5 Nadeln ausgehen und nur jeweils jede zweite berücksichtigen (d. h. L=2), dann werden Sie mit einem Faden auskommen. Haben Sie dagegen N=6 Nadeln und lassen sie jeweils eine Lücke von L=3, dann brauchen Sie drei Fäden. Wie viele Fäden werden Sie im Allgemeinen brauchen bei N Nadeln und einer Lücke von L? Ich habe eine eher kryptische Begründung angegeben und soll diese näher erklären/begründen/verstehen: Begründung: Man braucht so viele Fäden, wie es dem ggT von N und L entspricht. Der ggT(N, L) teilt per Definition sowohl N als auch L. Wenn ich die nächste Nadel verbinden möchte, so gehe ich um ein Vielfaches vom ggT(N, L) weiter. Weil ggT(N, L) teilt N, kann ich dadurch aber nur N/ggT(N, L) verschiedene Nadeln erreichen, d. h. ich brauche genau ggT(N, L)-Fäden, damit ich alle Nadeln verbinden kann. Vor allem diese Stelle finde ich verwirrend: "Weil ggT(N, L) teilt N, kann ich dadurch aber nur N/ggT(N, L) verschiedene Nadeln erreichen". Vielleicht versteht dies jemand und kann mir helfen! LG |
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| 07.11.2014, 01:49 | trara | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Nadeln und Fäden Hallo verstehen kann man etwas, wenn man es ausprobiert. nimm etwa 18 Nadeln, L=5 ggT(18,6) =3. nummerier die Nadeln und fang miti 1 an (die liegt neben 18) jetzt die Reihenfolge 1,7.13,19 und die 19 ist wieder 1 wieviel Verbindungen hast du jetzt ? genau 3, also den ggT Mach dasselbe mit z.B 12 und 3 oder denk dir selbst was aus. dann 18 znd öücke 5 ggT=1 Wenn man etwas schlecht versteeht versucht man es mit überschaubaren Beispielen. Gruß trara |
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| 07.11.2014, 11:12 | Primsen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo! Danke für deine Antwort. Ich habe mich intensiv mit dem Beispiel auseinandergesetzt und hoffe eine Begründung gefunden zu haben: Wenn ich um L weitergehe, dann gehe ich trivialerweise um ein Vielfaches vom ggT(N, L) weiter, weil ggT(N, L) teilt L. Weil auch ggT(N, L) teilt N ist sichergestellt, dass ich irgendwann wieder zum Ausgangspunkt zurückkehre. Wenn ich mich nun im Uhrzeigersinn im Kreis bewege komme ich beim ersten "Umlauf" entweder wieder zum Ausgangspunkt zurück (nämlich wenn ggT(N, L) = L) oder ich bleibe einige Nadeln vor dem Ausgangspunkt stehen. Somit habe ich beim ersten "Umlauf" insgesamt N/(n*ggT(N, L)) Nadeln erreicht. Dies ist im Fall ggT(N, L) ungleich L keine natürliche Zahl, weil (n*ggT(N, L)) darf N nicht teilen, da (n*ggT(N, L)) bereits L teilt und sonst (n*ggT(N, L)) der ggT wäre. Um wieder zum Ausgangspunkt zurückzukehren muss dies also eine natürliche Zahl sein (erstmals!) und das geschieht nach genau n Umläufen. Nach n Umläufen ist also die Anzahl der "einbezogenen" Nadeln gleich N/ggT(N, L). Wenn ich nun ggT(N, L)-Fäden einsetze, kann ich alle Nadeln erreichen. Ergänzung: Ich kann bei n Umläufen keine Nadel doppelt erwischen. Nach n Umläufen komme ich erstmals zum Ausgangspunkt zurück. Es ist unmöglich, dass ich eine Nadel doppelt erwische, bevor ich zum Ausgangspunkt zurück gekehrt bin, weil ich vom Ausgangspunkt starten MUSS um diese Nadeln noch einmal zu erreichen. Ist diese allgemeine Begründung zufriedenstellend oder muss ich sie noch verfeinern? Bitte jede Kleinigkeit anmerken! |
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| 19.11.2014, 14:43 | aleck | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Nadeln und Fäden
Hallo, die Aussage in diesem Beispiel müsste nach meiner Ansicht korrigiert werden. Z. B. in: Haben Sie N=6 Nadeln und lassen Sie jeweils eine Lücke von L=3, dann brauchen Sie zwei Fäden. oder in: Haben Sie N=6 Nadeln und lassen Sie jeweils eine Lücke von L=2, dann brauchen Sie drei Fäden. |
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