Maximum-Likelihood-Schätzer für ähnliche Verteilung wie Normalverteilung

06.11.2014, 15:09	planlos93	Auf diesen Beitrag antworten »
Maximum-Likelihood-Schätzer für ähnliche Verteilung wie Normalverteilung Meine Frage: Folgende Aufgabe haben wir in der Uni bekommen: Sei $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X_{1},..., X_{n} \end{eqnarray}$ unabhängig und identisch gemäß der Dichte $\begin{eqnarray} h_{\mu,\sigma^{2} } (x)= \frac{1}{\sigma} e^{-\frac{x-\mu}{\sigma} } \cdot 1_{\left[\mu, \infty \right) } (x), \mu\in \mathbb R , \sigma^{2}>0 \end{eqnarray}$ , verteilt. Bestimmen Sie den Maximium-Lkelihood-Schätzer für $\begin{eqnarray} \left(\mu, \sigma^{2}\right) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: $\begin{eqnarray} L\left(\mu,\sigma^{2}\right) = \prod\limits_{i=1}^n h_{\mu,\sigma^{2}}\left(X_{i}\right) <br /> =\frac{1}{\sigma} e^{-\frac{x_{1}+...+x_{n}}{\sigma} } \cdot 1_{\left[\mu,\infty \right)}\left(X_{1}\right)\cdot ...\cdot 1_{\left[\mu,\infty \right)}\left(X_{n}\right) \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} (x_{1},...,x_{n})\in \left[\mu,\infty \right)^{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} logL\left(\mu,\sigma^{2}\right) = -nlog(\sigma)-\frac{x_{1}+...+x_{n}-n\mu}{\sigma} \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ konstant. $\begin{eqnarray} \frac{\delta logL(\mu,\sigma^{2})}{\delta\sigma} = \frac{-n}{\sigma} + \frac{x_{1}+...+x_{n}-n\mu}{\sigma^{2}} =0<br /> \Longleftrightarrow \frac{x_{1}+...+x_{n}-n\mu}{\sigma} =n<br /> \Longleftrightarrow \overline{x_{n}}-\mu = \sigma<br /> <br /> \hat{\sigma}^{2}_{ML}= (\overline{x_{n}}-\mu)^{2} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \overline {x_{n}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n x_{i} \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ variabel. Betrachte $\begin{eqnarray} logL\left(\mu, \left(\overline{x_{n}}-\mu\right)^{2} \right) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} logL\left(\mu, \left(\overline{x_{n}}-\mu\right)^{2} \right)<br /> = -nlog(\overline{x_{n}}-\mu)-\frac{x_{1}+...+x_{n}-n\mu}{\overline{x_{n}}-\mu} <br /> =-n\left(log\left(\overline{x_{n}}-\mu\right)+1 \right) <br /> <br /> \frac{\delta logL\left(\mu, \left(\overline{x_{n}}-\mu\right)^{2} \right) }{\delta\mu} =\frac{n}{\overline{x_{n}}-\mu} =0 \end{eqnarray}$ Also eigentlich müsste bei dem letzten Schritt 0 rauskommen, aber eigentlich ist das doch größer als 0 oder? Da hänge ich einfach fest und kann kein $\begin{eqnarray} \hat{\mu}_{ML} \end{eqnarray}$ bestimmen Danke schon mal für jegliche Hilfe

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