HDI Beweis

06.11.2014, 16:45

KyKy

HDI Beweis

Zu zeigen ist, dass folgendes kleiner als epsilion ist
$\begin{eqnarray*} \left | \sum f(x_i)(x_i-x_{i-1})-\int_{a}^{b} f(x) dx\right |<e \end{eqnarray*}$

Man darf den HDI benutzen:
$\begin{eqnarray*} \left | \sum f(x_i)(x_i-x_{i-1})-\int_{a}^{b} f(x) dx\right |=\left | \sum f(x_i)(x_i-x_{i-1})-(F(b)-F(a))\right | \end{eqnarray*}$

Meine Idee unter Nutzung von MWS:
$\begin{eqnarray*} (F(b)-F(a))=\sum F(x_i)-F(x_{i-1})) =\sum f(x_i)(x_i)(x_{i-1})) \end{eqnarray*}$

Hier komme ich nicht weiter, denn wenn ich die telosskop Summe einsetzte
$\begin{eqnarray*} \left | \sum f(x_i)(x_i-x_{i-1})-\int_{a}^{b} f(x) dx\right | \end{eqnarray*}$
kommt Null raus

06.11.2014, 23:11

bijektion

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} (F(b)-F(a))=\sum F(x_i)-F(x_{i-1})) =\sum f(x_i)(x_i)(x_{i-1})) \end{eqnarray*}$

Was soll der Term ganz rechts bedeuten?

07.11.2014, 00:41

KyKy

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so muss es richtig lauten
$\begin{eqnarray*} [latex] (F(b)-F(a))=\sum F(x_i)-F(x_{i-1})) =\sum f(x_i)((x_i)-(x_{i-1})) \end{eqnarray*}$ [/latex]

07.11.2014, 08:01

bijektion

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Das gilt aber nicht einfach so. Falls $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ R-Integrierbar ist und die Partition $\begin{eqnarray*} P_n \end{eqnarray*}$ für große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ beliebig fein wird, dann gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sum_{j=1}^n f(x_i)\cdot(x_j-x_{j-1}) = \int_a^b f \end{eqnarray*}$ .

Was du zeigen sollst: Zu $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ findest du $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , sodass die Differenz klein wird.

07.11.2014, 12:40

KyKy

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wie zeigt man das ?

08.11.2014, 09:44

bijektion

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Offenbar ist für jedes Teilintervall $\begin{eqnarray*} I_j=[x_{j-1},x_j] \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} \inf_{x\in I_j} f(x) \leq f(x_j)\leq\sup_{x\in I_j}f(x) \end{eqnarray*}$ (für $\begin{eqnarray*} 1\leq j\leq n \end{eqnarray*}$ ).

Also gilt: $\begin{eqnarray*} \mathcal{U}_f(P_n)=\sum_{j=1}^n \inf_{x\in I_j} (f(x))\cdot(x_j-x_{j-1})\leq\sum_{j=1}^n f(x_i)\cdot(x_j-x_{j-1})\leq\sum_{j=1}^n \sup_{x\in I_j} (f(x)) \cdot(x_j-x_{j-1})=\mathcal{O}_f(P_n) \end{eqnarray*}$ .

08.11.2014, 12:06

KyKy

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Zitat:

Original von bijektion
Offenbar ist für jedes Teilintervall $\begin{eqnarray*} I_j=[x_{j-1},x_j] \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} \inf_{x\in I_j} f(x) \leq f(x_j)\leq\sup_{x\in I_j}f(x) \end{eqnarray*}$ (für $\begin{eqnarray*} 1\leq j\leq n \end{eqnarray*}$ ).

Also gilt: $\begin{eqnarray*} \mathcal{U}_f(P_n)=\sum_{j=1}^n \inf_{x\in I_j} (f(x))\cdot(x_j-x_{j-1})\leq\sum_{j=1}^n f(x_i)\cdot(x_j-x_{j-1})\leq\sum_{j=1}^n \sup_{x\in I_j} (f(x)) \cdot(x_j-x_{j-1})=\mathcal{O}_f(P_n) \end{eqnarray*}$ .

Wir benutzen die Stetigkeit und sagen für alle e>0 gibt es ein delta I x- x0I sodass If(x)-(f(x0)I<e
$\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_f(P_n)-\mathcal{U}_f(P_n)=( \sum_{j=1}^n\sup_{x\in I_j} (f(x))- \inf_{x\in I_j} (f(x)))\cdot(x_j-x_{j-1}) \end{eqnarray*}$

Wähle delta= e/(supf(x)-inf(f(X))

fertig

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