Definitionen der e-Funktion

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Simba Auf diesen Beitrag antworten »

Ich klink mich mal mit meinr Frage in diesen threat rein, weil mich das schon lange interessierte: Was ist denn die allgemeingültige Definition der e-Funktion (oder gibt es die überhaupt)?:

1) Die Funktion, deren Ableitung an jedem Punkt gleich dem Funktionswert ist (wundersames Ergebnis Augenzwinkern )

oder

2) als Definition der Zahl e: die Exponentialreihe mit x=1

oder

3) ist das beides das selbe, und ich seh nur die Umformung nicht?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt mehrere Möglichkeiten, die e-Funktion zu definieren. Ich schreibe dir einmal die gängigsten auf (zwei davon hast du ja selbst schon genannt). Ich nenne dabei die zu definierende e-Funktion exp(x).


1. exp(x) als diejenige Exponentialfunktion, deren Ableitung an der Stelle 0 den Wert 1 hat:



Die zweite Gleichung mußt du als Definition der Zahl e auffassen.


2. exp(x) als Lösung einer Differentialgleichung:



e wird dann als exp(1) definiert.


3. Definition durch eine Potenzreihe:



e wird dann als exp(1) definiert.


4. Definition als Folgenlimes:



Auch hier wird e dadurch definiert, daß man x=1 setzt.


5. Definition als Umkehrung des über ein Integral eingeführten natürlichen Logarithmus:



e definiert, indem man x=1 setzt.


Und da gibt es sicher noch mehr Möglichkeiten.

Du kannst nun die e-Funktion auf eine dieser Arten definieren. Dann mußt du die anderen 4 Arten als Folgerungen beweisen. Da gehört allerdings schon mächtig viel Mathematik dazu, diese Nachweise zu führen. Das würde jetzt meinen Beitrag sprengen, wollte ich das durchführen. Wenn es dich interessiert, nimm dein Schulbuch oder ein Uni-Analysis-Buch für Anfänger zur Hand oder suche hier beim Matheboard nach entsprechenden Threads. Da wurden schon viele Aspekte diskutiert.
Welche der möglichen Einführungen der e-Funktion man vorzieht, hängt immer vom Vorwissen ab. Wenn man sich schon mit Potenzreihen beschäftigt hat, ist sicher die dritte Definition die eleganteste. In der Schule wird man eher die Definition 1 oder Definition 5 oder Varianten davon vorziehen, weil dort in der Regel keine Kenntnisse der Potenzreihen vorhanden sind.
 
 
Simba Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, in der Schule hatten wir (und auch das eigentlich nur rudimentärAugenzwinkern ) die erste Definition benutzt, im Ana1 vom Forster fand ich aber die Definion wie in punkt 3. :

exp(1) (mist, das mit dem Formeleditor muss ich auch noch lernen Big Laugh )

Aber ist exp(x) nicht eine Exponentialreihe? Im Forster zumindest steht unter Potenzreihen was anderes, oder lässt sich das eine in das andere überführen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, was du mit "Exponentialreihe" meinst. Üblicherweise nennt man die Potenzreihe aus 3. die Exponentialreihe. Das ist also ein Name für diese spezielle Potenzreihe. Genauso wie Simba ein Pseudonym für Herrn Soundso aus NRW ist.

Tun wir einmal so, als hättet ihr an der Schule die Definition 1 sauber eingeführt. Dann bekommst du die Exponentialreihe als Taylor-Reihe dieser Funktion. Versuch das einmal selber. Ich gebe dir eine Anleitung dazu:

1. Bestimme f(x)=a+bx so, daß der Graph von f den Graphen der e-Funktion in (0|1) berührt (m.a.W. bestimme die Tangente).

2. Bestimme f(x)=a+bx+cx² so, daß f(0),f'(0),f''(0) dieselben Werte haben wie die entsprechenden Ableitungen der e-Funktion bei 0.
Du erhältst eine quadratische Funktion, die sich nahe 0 dem Graphen der e-Funktion gut anpaßt.

3. Bestimme f(x)=a+bx+cx²+dx³ so, daß f(0),f'(0),f''(0),f'''(0) dieselben Werte haben wie die entsprechenden Ableitungen der e-Funktion bei 0.
Du erhältst eine kubische Funktion, die sich nahe 0 dem Graphen der e-Funktion gut anpaßt.

usw.

Da wird dir etwas auffallen. Laß dir die Graphen auch von einem Plotter zeichnen.
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