Abschätzen

06.11.2014, 19:26

Paulo14

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Abschätzen

Meine Frage:
Hallo,

$\begin{eqnarray*} n\geq 2: \sqrt{n} +(1/\sqrt{n+1}) > \sqrt{1+n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich kriege diese Abschätzung für einen Induktionsschritt nicht hin.
Ich habe probiert zu quadrieren oder eben zu erweitern und die evtl. n>=2 einzusetzen für ein Teil oder +0 hinzuzufügen.

Jemand eine Idee?

06.11.2014, 21:54

HAL 9000

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Das ist doch fast offensichtlich:

In einem ersten Schritt mit $\begin{align*} \sqrt{n+1} \end{align*}$ multiplizieren, das "erledigt" doch schon mal zwei der drei Wurzeln!

06.11.2014, 22:08

Paulo14

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{n} * \sqrt{n+1} + 1 > n+1<br /> <=> \sqrt{n(n+1)}+1 > n+1<br /> <br /> <=> \sqrt{n^{2}+n } > n<br /> <=> n*\sqrt{1+1/n } > n \end{eqnarray*}$

und ist das wirklich somit offensichtlich, dass das gilt?

06.11.2014, 22:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von Paulo14
$\begin{eqnarray*} \sqrt{n^{2}+n } > n \end{eqnarray*}$

Na ich würde eher hier nochmal quadrieren.

06.11.2014, 22:50

Paulo14

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Oh!!

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2} +n > n <=> n^2+n > n^2 <=> n > 0 \end{eqnarray*}$

Die Aussage gilt.

Vielen Dank. Es ist wohl häufiger der Fall, dass man 2 Mal quadrieren muss bei solchen Wurzelungleichungen.

ps: spontan eine Idee hierfür: $\begin{eqnarray*} \forall x\in \mathbb R+ , n\in \mathbb N : \frac{1}{x_{n+1} }(\sum\limits_{k=1}^n x_{k} )+ x_{n+1}* (\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{x_{k}} ) \geq n^2 \end{eqnarray*}$

06.11.2014, 22:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von Paulo14
ps: spontan eine Idee hierfür: $\begin{eqnarray*} \forall x\in \mathbb R+ , n\in \mathbb N : \frac{1}{x_{n+1} }(\sum\limits_{k=1}^n x_{k} )+ x_{n+1}* (\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{x_{k}} ) \geq n^2 \end{eqnarray*}$

Das stimmt sicher nicht, allenfalls

$\begin{align*} \frac{1}{x_{n+1}}\left( \sum\limits_{k=1}^n x_k \right) + x_{n+1}\cdot \left( \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{x_k} \right) \geq 2n \end{align*}$ .

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07.11.2014, 09:27

Paulo14

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Ja genau, ich habe mich verschrieben.

Ich meine wenn ich mir die Summen aufschreibe sehe ich dennoch nicht warum das größer als 2n sein soll. Ich schaffe es nicht den Begriff Polynom auszublenden und hänge mich da auf.
Letztlich sind beide Summen "eine" Reele Zahl. Vielleicht könnte ich auch die eine Summe umschreiben mittels n(n+1)/2. Aber warum diese größer als 2n sind... .

07.11.2014, 09:35

HAL 9000

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Du kannst die beiden Summen links zusammenfassen zu einer Summe $\begin{align*} \sum_{k=1}^n \left( \frac{x_k}{x_{n+1}} + \frac{x_{n+1}}{x_k} \right) \end{align*}$ .

Und dann nutze die Hilfsungleichung

$\begin{align*} t+\frac{1}{t} \geq 2 \end{align*}$ für alle reellen $\begin{align*} t>0 \end{align*}$

die du vor Verwendung natürlich auch noch beweisen (begründen) musst.

P.S.: Ich nehme an, das ganze entstammt einem Induktionsbeweis der Aussage

$\begin{align*} \left( \sum_{k=1}^n x_k \right) \cdot \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{x_k} \right) \geq n^2 \end{align*}$ ?

Solltest du die Cauchy-Schwarz-Ungleichung (CSU) kennen und benutzen dürfen, dann geht der Beweis auch viel einfacher ganz ohne Induktion. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.11.2014, 11:48

Paulo14

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$\begin{eqnarray*} (t+1)+(\frac{1}{t+1})\geq 2<br /> <br /> (t+1)+(\frac{1}{t+1})= t+\frac{1}{t} -\frac{1}{t} +\frac{1}{t+1} + 1<br /> <br /> \frac{\geq }{IV} 2 + 1- \frac{1}{t} +\frac{1}{t+1}<br /> <br /> = 2+\frac{1}{t+1} > 2 \end{eqnarray*}$

Ich habe vor mir eine Summe. Ich will automatisch lieber erweitern doch dann erhalte ich die Quadrate und das nützt nicht viel.
Vermutung: Ich erkenne also, dass die Summanden reele Zahlen sind und schreibe diese als t+1/t.

Ja es stammt von dieser Induktion. Diese müsste ich jetzt einfach lösen können.

An und für sich glaube ich, dass man die Hilfsgleichung ja nicht für den Beweis benötigt, denn es wird vorausgesetzt, dass die x in den positiven reelen Zahlen liegen. Nach dem benutzen der Induktionsvoraussetzung muss die Summe ja nur noch positiv sein und das ist sie nach Voraussetzung. Zum Verständnis jedoch sehr nützlich! Danke.

ps: CSU dürfen wir nicht verwenden^^

07.11.2014, 11:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von HAL 9000
Und dann nutze die Hilfsungleichung

$\begin{align*} t+\frac{1}{t} \geq 2 \end{align*}$ für alle reellen $\begin{align*} t>0 \end{align*}$

Ein Induktionsbeweis mit $\begin{align*} t \end{align*}$ als Variablen ist völlig nutzlos.

Alles und jedes nun mit Vollständiger Induktion nachweisen zu wollen, geht schief. unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von Paulo14
An und für sich glaube ich, dass man die Hilfsgleichung ja nicht für den Beweis benötigt, denn es wird vorausgesetzt, dass die x in den positiven reelen Zahlen liegen. Nach dem benutzen der Induktionsvoraussetzung muss die Summe ja nur noch positiv sein und das ist sie nach Voraussetzung.

Erstaunt1

Du "brauchst" nur, dass die Summe positiv ist??? Ich denke, du willst (und musst für deinen Induktionsweis) nachweisen, dass sie $\begin{align*} \geq 2n \end{align*}$ ist. verwirrt

verwirrt

07.11.2014, 12:07

Paulo14

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Oh! Da hast Du Recht. Aber mir hat es trotzdem was für meine Indution gebracht. Lach. Schließlich war das mein Zweck. Nochmal die korrigierte Version

$\begin{eqnarray*} t+\frac{1}{t} \geq 2<br /> <br /> <=> t^{2} +1 \geq 2t<br /> <br /> <=> t^{2} -2t+1 \geq 0<br /> <br /> <=> (t-1)^{2} \geq 0<br /> \end{eqnarray*}$

Etwas zum Quadrat ist immer größer gleich 0.

07.11.2014, 12:09

HAL 9000

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Ja, das ist eine von vielen denkbaren Beweismöglichkeiten.

07.11.2014, 12:10

Paulo14

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Hey,

ich habe die Induktion von mir falsch aufgeschrieben. Die Induktion lautet so wie in Deinem Beitrag. $\begin{eqnarray*} ... \geq n^{2} \end{eqnarray*}$

Sorry, dass ich Dich verwirrt habe. Danke!

07.11.2014, 12:15

HAL 9000

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Ich mach es dir mal einfach:

Behauptung (A): $\begin{align*} \left( \sum_{k=1}^n x_k \right) \cdot \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{x_k} \right) \geq n^2 \end{align*}$

Behauptung (B): $\begin{align*} \frac{1}{x_{n+1}}\left( \sum\limits_{k=1}^n x_k \right) + x_{n+1}\cdot \left( \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{x_k} \right) \geq 2n \end{align*}$

Bitte äußere dich in Zukunft mal klarer, worüber du gerade sprichst. Jedenfalls erzeugen Aussagen wie

Zitat:

Original von Paulo14
ich habe die Induktion von mir falsch aufgeschrieben. Die Induktion lautet so wie in Deinem Beitrag. $\begin{eqnarray*} ... \geq n^{2} \end{eqnarray*}$

mehr Verwirrung, als sie zur Klärung beitragen. Danke.

07.11.2014, 12:50

Paulo14

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Also Behauptung (A) ist die Hauptaussage die ich zeigen muss.

Behauptung (B) ist der Teil den ich hier bearbeiten will, damit ich (A) beweisen kann.
Ich dachte ich habe (B) für (A) begriffen, was ein Irrtum war.((A) und (B) haben sich in meinen Gedanken vermischt).

Ich ahne auch schon warum Du sagst, dass der Hilfsbeweis eine mögliche Variante ist.
Ist diese Variante denn auch nützlich für meinen Beweis zu (B).

Bei B stört mich das n von 2n.
Jetzt habe ich gezeigt, dass die die Summe auf jeden Fall größer als 2 ist. Ist Sie aber auch größer als 2n.
Aus meinem Beweis erkenne ich das nicht. Dafür muss ich wohl die Gesamtaussage betrachten.
Ich benötige vermutlich noch ein n auf der linken Seite der Gesamtaussage (A).
Dies kann ich einfach mit hinzufügen, sodass:

$\begin{eqnarray*} n^{2} +t+\frac{1}{t} +1 <br /> \geq n^{2}+2+1 (Nutze Hilfssatz)<br /> \geq n^{2}+2+1 +2n -2n<br /> \geq n^{2}+ 3 -2 +2n<br /> \geq n^{2} <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

07.11.2014, 13:11

klarsoweit

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Mit dem Beweis, daß $\begin{eqnarray*} t + \frac 1 t \geq 2 \end{eqnarray*}$ ist, läßt sich die Aussage $\begin{align*} \sum_{k=1}^n \left( \frac{x_k}{x_{n+1}} + \frac{x_{n+1}}{x_k} \right) \geq 2n \end{align*}$ recht simpel direkt (also ohne vollständige Induktion) beweisen.

07.11.2014, 13:51

Paulo14

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Meine Gesamtaussage (A), dessen Weg ich nicht aufgeschrieben habe, habe ich auch mit (B) für größer gleich 2 gelöst. Das n war nicht mehr so notwendig.

Interessieren tut es mich dennoch.

Umzu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \left( \frac{x_k}{x_{n+1}} + \frac{x_{n+1}}{x_k} \right) \geq 2n<br /> \end{eqnarray*}$ gilt.

Idee: $\begin{eqnarray*} t := \sum\limits_{k=1}^n \frac{x_{k}}{x_{n+1} } \end{eqnarray*}$ definieren?

07.11.2014, 13:56

HAL 9000

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Oje...

Nein: Es wird schlicht $\begin{align*} t := \frac{x_{k}}{x_{n+1}} \end{align*}$ gewählt, und das dann n-mal, d.h. für jedes k. Es ergibt sich

$\begin{align*} \sum_{k=1}^n \left( \frac{x_k}{x_{n+1}} + \frac{x_{n+1}}{x_k} \right) \geq \sum_{k=1}^n 2 = 2n \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Paulo14
Meine Gesamtaussage (A), dessen Weg ich nicht aufgeschrieben habe, habe ich auch mit (B) für größer gleich 2 gelöst. Das n war nicht mehr so notwendig.

Erneut so eine Aussage, die als ziemlichen Unfug bezeichnen würde.

07.11.2014, 15:53

Paulo14

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Bei Deiner Ungleichung habe ich ein Verständnisproblem.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n 2 = 2n \end{eqnarray*}$

Mir wurde Mal gesagt, dass das Summenzeichen einfach weg fällt , weil es in der Variablen t keinen Laufindex k gibt. Das ist dann ,,falsch", zumindest für unseren Fall und nach den Regeln fürs Rechnen mit Summen auch! (oh man -.-)

Wenn ich mir also eine Menge $\begin{eqnarray*} t:=\left\{ \frac{x_1}{x_{n+1}}, ..., \frac{x_k}{x_{n+1}} \right\} \end{eqnarray*}$ definiere, dann :
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \left( \frac{x_k}{x_{n+1}} + \frac{x_{n+1}}{x_k} \right) \geq 2n<br /> <=> (t+\frac{1}{t})\geq 2 <br /> <=> n*(t + \frac{1}{t}) \geq 2n <br /> <br /> => n*(t + \frac{1}{t}) \geq n*2 =2n \end{eqnarray*}$

Wäre das auch möglich? Vielleicht ist das Problematisch, weil man die obige Menge wie ich sie definiert habe nicht abschätzen kann, so wie ich es getan habe?

Also mit Summen kann ich wirklich noch nicht gut rechnen -.-
Gibt es ein Übungsbuch nur für Ungleichungen(Abschätzungen) oder komplizierten Summen?

ps: HAL9000 Ich habe vor dem ersten Beitrag von klarsoweit den Weg bisschen unsauber gepostet, wie ich die allgemeine Aussage (A)

$\begin{eqnarray*} \left( \sum_{k=1}^n x_k \right) \cdot \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{x_k} \right) \geq n^2 \end{eqnarray*}$ gelöst habe mit $\begin{eqnarray*} t:=\sum\limits_{k=1}^n \frac{x_{k}}{x_{n+1} } \end{eqnarray*}$

07.11.2014, 18:21

HAL 9000

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Wenn man n-mal dieselbe Zahl summiert, dann kommt nicht diese Zahl heraus, sondern das n-fache dieser Zahl. Und das muss einem nicht gesagt werden, sowas kann man sich auch selbst überlegen. Forum Kloppe

Forum Kloppe

Zitat:

Original von Paulo14
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \left( \frac{x_k}{x_{n+1}} + \frac{x_{n+1}}{x_k} \right) \geq 2n<br /> <=> (t+\frac{1}{t})\geq 2 \end{eqnarray*}$

Von einem $\begin{align*} \Leftrightarrow \end{align*}$ an dieser Stelle war hier NIE die Rede. Sondern nur von einem $\begin{align*} \Leftarrow \end{align*}$ , was ja zur Begründung auch reicht.

08.11.2014, 18:41

Paulo14

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Ok.

smile

Ich bin auch selbst zu dem Gedanken gekommen, dass es n-mal multipliziert wird (steht ja da). Mir fehlte einfach die Sicherheit, ob das denn allgemeine Konvention ist. In der Vorlesung wird übers Rechnen nicht gesprochen.

Ja, die Implikation würde genügen.

Auf jeden Fall Danke für Eure Hilfe! Freude

Freude

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

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