Volumen einer Pyramide

06.11.2014, 20:31

Cravour

Volumen einer Pyramide

Hallo

,
ich habe mal eine kurze Frage zu einer Aufgabe:

Die Punkte A, B und C bilden mit dem Punkt D eine Pyramide. Berechnen Sie das Volumen der dreiseitigen Pyramide. A(11/2/-1); B(1/8/-9); C(1/10/5); D(11/16/-3)

$\begin{eqnarray*} V=\frac16 \cdot \begin{pmatrix} -10 \\ 98 \\ 86 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V=\frac16 \cdot 1400 = 233,33 \end{eqnarray*}$

Stimmt das Volumen so? Ich muss einfach 1/6 mit dem Kreuzprodukt vom Vektor A und B und dem Vektor C multiplizieren?

06.11.2014, 20:47

Mathema

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RE: Volumen einer Pyramide
Und wofür benötigt man Punkt D? verwirrt

Der scheint ja bei dir überhaupt keine Rolle zu spielen.

06.11.2014, 20:50

Cravour

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Eben deshalb habe ich mich gewundert... ich wusste nicht, was ich damit anfangen soll? verwirrt

06.11.2014, 20:53

Mathema

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Nun ja- für das Volumen der Pyramide rechnest du als erstes das Kreuzprodukt der Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{AB} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{AC} \end{eqnarray*}$ aus. Danach das Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt und dem Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{AD} \end{eqnarray*}$ . Anschließend kannst du denn mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ multiplizieren.

Es gilt: $\begin{eqnarray*} V_{Pyramide} = \frac{1}{6} \cdot \vert {(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}} \vert \end{eqnarray*}$

Wink

06.11.2014, 21:05

Bjoern1982

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Zitat:

Kreuzprodukt der Vektoren A und B sowie A und C aus.

So kann man das nicht sagen, denn A,B und C sind keine Vektoren sondern Punkte.
Gemeint sind die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{AB} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{AC} \end{eqnarray*}$
Und Betragsstriche wären übrigens auch nicht verkehrt. Wink

06.11.2014, 21:07

Cravour

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Dann komme ich auf 333,33 VE, falls ich mich nicht verrechnet habe smile

.

Aber das Prinzip ist mir jetzt klar; danke! Wink

06.11.2014, 21:09

Mathema

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Hab`s auch schon gemerkt gehabt, dass dich das sehr schlampig aufgeschrieben habe. Aber danke noch mal für den Hinweis. Freude

06.11.2014, 21:18

Mathema

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@Cravour:

Ich komme auf selbiges Ergebnis. Die korrekte Schreibweise hatte Bjoern ja schon angesprochen, aber du hast mich ja verstanden zum Glück Augenzwinkern

Schönen Abend dir!

Wink

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