Matrizen multiplizieren und potenzieren (gleichzeitig)

06.11.2014, 21:11

lonal

Matrizen multiplizieren und potenzieren (gleichzeitig)

Folgendes angenommen:

A = B*C*D

A mit n aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ potenziert:

A^n = (B*C*D)^n

Gilt dann folgendes?

A^n = B*C^n*D

Wenn nein, was gilt dann?

Danke schonmal im voraus.

06.11.2014, 22:29

Helferlein

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Da das noch nicht einmal für 1x1-Matrizen (also reelle Zahlen) gilt, warum sollte es dann für Matrizen größeren Formats gelten?
Aber selbst wenn es sich um einen Schreibfehler handelt und $\begin{eqnarray*} A^n=B^nC^nD^n \end{eqnarray*}$ gemeint sein sollte, gilt das nur für einige Matrizen (z.B. wenn B,C und D paarweise vertauschbar sind).

Ansonsten gilt einfach nur $\begin{eqnarray*} A^n=\prod_{k=1}^n(BCD) \end{eqnarray*}$

06.11.2014, 22:43

HAL 9000

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Man kann noch erwähnen, dass es einen wichtigen Spezialfall gibt, wo das doch gilt:

Quadratische Matrizen $\begin{align*} B,C,D \end{align*}$ mit $\begin{align*} D=B^{-1} \end{align*}$ .

Nutzt man u.a., um Potenzen bzw. gar Potenzreihen (z.B. Exponentialfunktion) von Matrizen $\begin{align*} A \end{align*}$ einfach mittels Diagonalisierung zu berechnen, in dem Fall ist $\begin{align*} C \end{align*}$ dann eine Diagonalmatrix.

07.11.2014, 15:56

lonal

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Zitat:

Original von HAL 9000
Man kann noch erwähnen, dass es einen wichtigen Spezialfall gibt, wo das doch gilt:

Quadratische Matrizen $\begin{align*} B,C,D \end{align*}$ mit $\begin{align*} D=B^{-1} \end{align*}$ .

Nutzt man u.a., um Potenzen bzw. gar Potenzreihen (z.B. Exponentialfunktion) von Matrizen $\begin{align*} A \end{align*}$ einfach mittels Diagonalisierung zu berechnen, in dem Fall ist $\begin{align*} C \end{align*}$ dann eine Diagonalmatrix.

Ist es dabei denn egal, ob man C^n nimmt oder eine der anderen beiden Matrizen?

07.11.2014, 16:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von lonal
Ist es dabei denn egal, ob man C^n nimmt oder eine der anderen beiden Matrizen?

Du meinst, ob man den Exponenten mal flugs auf eine der beiden anderen Matrizen übertragen kann, d.h. $\begin{eqnarray*} B * C * D^{n-1} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} B * C^{n-1} * D \end{eqnarray*}$ nehmen???

NEIN!

08.11.2014, 14:39

lonal

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von lonal
Ist es dabei denn egal, ob man C^n nimmt oder eine der anderen beiden Matrizen?

Danke, aber wieso steht da jetzt aufeinmal n-1 im Exponenten?

Hast du vielleicht noch Seite, wo das ausführlich erklärt steht?

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