Primzerlegung

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07.11.2014, 11:02	Doutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Primzerlegung Meine Frage: Hallo zusammen Bei dieser Aufgabe komme ich nicht weiter, wäre super wenn mir jemand helfen könnte: Geben Sie eine Primzerlegung an von a) $\begin{eqnarray} 4(37 + 16i) in \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} 3 in \mathbb{Z[\zeta]} \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} (i+1)X^2 + (-2+i)X - (i+1) in \mathbb{Z}[i][X] \end{eqnarray}$ d) $\begin{eqnarray} (i+1)X^2 + (-2+i)X - (i+1) in \mathbb{C}[X] \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Bis jetzt habe ich folgendes: a) $\begin{eqnarray} 4(37-16i)=(1+i)^2(1-i)^2(1-2i)^3(2-3i)(-i) \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} 3 = (1 - \zeta)(1-\bar{\zeta} \end{eqnarray}$ Bei c) und d) weiss ich nicht wie vorgehen... Meine Idee ist, zuerst d) zu lösen und zu schauen, ob das Polynom überhaupt reelle Nullstellen hat. Wenn nicht, ist das Polynom in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}[i][X] \end{eqnarray}$ gar nicht zerlegbar (glaube ich jedenfalls, oder?). Aber wie zerlege ich das Polynom in d)? Vielen Dank für einen Tipp!
07.11.2014, 11:25	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Generell ist deine Idee schon richtig. Aber du solltest nicht nach reellen Nullstellen Ausschau halten, sondern noch Nullstellen in $\begin{align} \mathbb Q[i] \end{align}$ (Überlege dir, wie dir das Lemma von Gauß hier hilft) Und das Polynom über $\begin{align} \mathbb C \end{align}$ zu zerlegen ist doch bekanntermaßen nichts anders als die Nullstellen zu berechnen.
07.11.2014, 11:46	Doutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die schnelle Antwort! Ich verstehe nicht ganz, wieso ich Nullstellen in $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}[i] \end{eqnarray}$ suchen soll. Zudem habe ich leider keine Ahnung, wie mir das Lemma von Gauss helfen soll.. Habs gerade auf Wikipedia nachgelesen, dort stehen ausserdem noch etwa 7 Korollare, die aus dem Lemma folgen. Bin aber trotzdem etwas ratlos
07.11.2014, 12:39	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Lemma von Gauß sagt nichts anderes, als dass dieses Polynom genau dann über $\begin{align} \mathbb Q[i] \end{align}$ irreduzibel ist, wenn es über $\begin{align} \mathbb Z[i] \end{align}$ irreduzibel ist. Somit sollte klar sein, warum du nach Nullstellen in $\begin{align} \mathbb Q[i] \end{align}$ suchen musst.
09.11.2014, 18:16	Doutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe noch mal drüber geschlafen und Theorie nachgelesen, verstehe aber leider immer noch nicht was du meinst
10.11.2014, 12:51	Doutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die Vorlesungsnotizen durchgelesen, wir haben $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}[i] \end{eqnarray}$ nie angeschaut... gibt es einen anderen Weg, die Aufgabe zu lösen? Als Nullstelle habe ich jetzt (1-i) erhalten, aber was sagt mir jetzt das bezüglich der Primzerlegung in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}[i][X] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb{C}[X] \end{eqnarray}$ ?
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10.11.2014, 14:25	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, habe das hier mitverfolgt und bei wolframalpa nachgeguckt, das polynom $\begin{eqnarray} (i+1)X^2+(-2+i)X - (i+1) \end{eqnarray}$ hat tatsächlich die nullstellen 1-i und -1/2 - i/2. Weil 1-i in Z[X] liegt und -1/2- i/2 nicht, kann man daraus schliessen, das das polynom über C[X] zerlegbar ist, über Z[X] dagegen nicht. gruss ollie3
10.11.2014, 14:38	Doutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo ollie3, Vielen Dank für die Antwort! Jetzt habe ich es verstanden
11.11.2014, 09:01	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstanden wurde hier offenbar wenig, denn die Behauptung von ollie3 ist falsch. Die Tatsache, dass alle Nullstellen in $\begin{align} \mathbb Q(i) \end{align}$ liegen, zeigt nämlich gerade, dass tatsächlich eine Zerlegung in $\begin{align} \mathbb Z[i] \end{align}$ existiert. Genau das sagt doch das Lemma von Gauß. Und WolframAlpha sagt einem auch das Richtige, wenn man es korrekt benutzt: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x-%281-i%29%29%28%281%2Bi%29x%2Bi%29 PS: Ich finde es schade, dass du sobald du eine scheinbare Komplettlösung erhalten hast, einfach aufhörst nachzudenken und behauptest du hättest es verstanden...Zumal der Widerspruch von ollie3's Ausführungen zu einer meiner Aussagen in diesem Thread eigentlich offensichtlich war. Ich erhebe keinen Anspruch auf 100%ige Korrektheit, aber du hättest dich zumindest wundern sollen, dass da was nicht passen kann und dann nochmal nachfragen können, was denn jetzt richtig ist.

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