Erzeugendensystem zeigen

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07.11.2014, 11:19	Schattenklinge	Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugendensystem zeigen Hallo, ich brauch eure Hilfe! Ich soll zeigen, dass folgende Mengen von Vektoren im $\begin{eqnarray} R^3 \end{eqnarray}$ ein Erzeugendensystem für $\begin{eqnarray} R^3 \end{eqnarray}$ bildet. $\begin{eqnarray} v_1 := \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_2 := \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_3 := \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun, wie mache ich das? Gut, es steht was von Linearer Hülle da, ich muss also mit jeder Linearkombination einen Vektor darstellen können. Heißt das dann einfach ich erstell mir das Gleichungssystem $\begin{eqnarray} \lambda_1 v_1 + \lambda_2 * v_2 + \lambda_3 * v_3 \end{eqnarray}$ und dann gucken ob es linear unabhängig ist? Das ist ja der Fall, mit $\begin{eqnarray} \lambda_{1,2,3} = 0 \end{eqnarray*}$ also ist Erzeugendensystem?
07.11.2014, 11:26	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast zwar den richtigen Ansatz gewählt, scheinst aber selber nicht zu wissen, warum er richtig ist. Ist dir der Begriff der Basis schon bekannt?
07.11.2014, 11:38	Schattenklinge	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, der ist mir noch nicht bekannt, so weit sind wir noch nicht gekommen.
07.11.2014, 11:41	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, wenn dir der Begriff der Basis noch nicht bekannt ist, dann wird es nicht ganz so schön (es ist natürlich trotzdem ganz gut machbar). Ein Erzeugendensystem liegt ja genau dann vor, wenn sich jeder Vektor aus dem $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ als Linearkombination von $\begin{eqnarray} v_1,v_2,v_3 \end{eqnarray}$ darstellen lässt. Sei also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\in\mathbb R^3 \end{eqnarray}$ ein beliebiger Vektor, kannst du dafür eine Linearkombination aus den gegebenen Vektoren bestimmen?
07.11.2014, 12:21	Schattenklinge	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lambda_1 v_1 + \lambda_2 * v_2 + \lambda_3 * v_3 = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Oder? Da muss ich quasi jetzt so ausrechnen, dass am Ende \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \end{pmatrix} raus kommt, richtig?
07.11.2014, 12:25	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ergibt ein Gleichungssystem, welches du lösen (und abschließend die Lösbarkeit begründen) kannst.
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07.11.2014, 13:42	Schattenklinge	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, da hab ich für jedes Lambda 0 raus. -> Linear Unabhängigkeit -> Lineare Hülle
07.11.2014, 13:56	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann mir kaum vorstellen, dass du auf $\begin{eqnarray} \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0 \end{eqnarray}$ kommst, wenn du das Gleichungssystem für einen allgemeinen Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ löst. Du hast den wahrscheinlich einfach durch den Nullvektor ersetzt. Da du ja auf die lineare Unabhängigkeit hinauswillst noch einmal die Frage: hattet ihr den Begriff der Basis schon? Vielleicht in einer anderen Form und in Verbindung mit dem Begriff der Dimension? Varianten des Begriffs wären: Linear unabhängiges Erzeugendensystem Maximal linear unabhängige Teilmenge Minimales Erzeugendensystem Wie habt ihr bisher nachgewiesen, dass eine Menge von Vektoren ein Erzeugendensystem bildet?
07.11.2014, 14:44	Schattenklinge	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Begriffe hatten wir noch nicht, wie gesagt... Und ja, ich hab den durch den Nullvektor ersetzt. Sonst würde ich für $\begin{eqnarray} lambda_2 = x_2 \end{eqnarray}$ rausbekommen.... Und für die andere dann in abhängigkeit.
07.11.2014, 14:50	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann wirst du leider den unbequemen Weg einschlagen müssen, und das allgemein für $\begin{eqnarray} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray}$ lösen müssen. Damit bekommst du dann Werte für $\begin{eqnarray} \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 \end{eqnarray}$ jeweils in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray}$ .

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