Abbildungen und Äquivalenzrelationen

07.11.2014, 12:53	Hannibee	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungen und Äquivalenzrelationen Hallo zusammen, ich habe ein Problem mit einer Aufgabe zu Abbildungen und Äquivalenzrelationen. Die Aufgabe lautet wie folgt: Seien $\begin{eqnarray} f: A \rightarrow C \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} g: A \rightarrow B \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} h: B \rightarrow C \end{eqnarray}$ Abbildungen mit $\begin{eqnarray} f = h \circ g \end{eqnarray}$ . Beweisen Sie, dass dann gilt: a) Die Relation $\begin{eqnarray} \sim_f :=\{(a_1,a_2)\in A \times A \mid f(a_1)=f(a_2)\} \end{eqnarray}$ ist eine Äquivalenzrelation auf A. b) $\begin{eqnarray} \sim_g \subseteq \sim_f \end{eqnarray}$ c) Wenn $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ surjektiv und $\begin{eqnarray} \sim_g = \sim_f \end{eqnarray}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ injektiv. Mein Problem liegt vorallem im Aufgabenteil c). Bei a) kann man ja schnell sehen, dass das eine Äquivalenzrelation ist. Ich hab so argumentiert, dass ja bei einer Abbildung jedem x aus dem Definitionsbereich nur ein y aus dem Wertebereich zugeordnet werden darf. Darum ist die Relation reflexiv. Tranisitivität und Symmetrie ergeben sich einfach. So richtig zu beweisen ist da nichts, glaub ich. Zu b) habe ich Folgendes geschrieben: $\begin{eqnarray} (a_1,a_2) \in \sim_g \Leftrightarrow g(a_1)=g(a_2) \Rightarrow h(g(a_1))=h(g(a_2)) \Leftrightarrow f(a_1)=f(a_2) \Leftrightarrow (a_1,a_2) \in \sim_f \end{eqnarray}$ Bei c) komm ich einfach nicht weiter. Ich muss doch irgendwie zeigen dass gilt $\begin{eqnarray} \{\forall b \in B \ \exists a \in A : f(a)=b\} \land \{ \forall a_1,a_2 \in A : g(a_1)=g(a_2) \Leftrightarrow h(g(a_1))=h(g(a_2)) \} \Rightarrow \{\forall b_1, b_2 \in B : h(b_1)=h(b_2) \Rightarrow b_1=b_2 \} \end{eqnarray}$ Zuerst dachte ich an einen Widerspruchsbeweis. Also von h nicht injektiv zu folgern auf entweder g nicht surjektiv oder die Äquivalenzrelationen nicht gleich. Das hab ich aber nicht geschafft. Dann dachte ich ich mache einfach eine Fallunterscheidung und schaue mir die Fälle für entweder zwei Elemente sind Elemente beider Äquivalenzrelationen oder sie sind es nicht und folger dann separat auf h injektiv. Aber auch da bin ich nicht weiter gekommen. Könnt ihr mir einen Tipp geben? Ich wüsste zumindest gerne welche Art der Beweisführung ich hier machen will. Von welcher Aussage ich auf welche kommen möchte und welchen Weg ich einschlage. Über die einzelnen Schritte denke ich dann gerne noch mal selber nach. Aber im Moment bin ich einfach ein bisschen verloren. Danke schon mal
07.11.2014, 20:24	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen und Äquivalenzrelationen Benutze $\begin{eqnarray} b_1, b_2\in Bild(g) \end{eqnarray}$
07.11.2014, 21:21	Hannibee	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen und Äquivalenzrelationen Danke. Mir fällt es ein wenig schwer das ganze in mathematischer Schreibweise zu formulieren. Aber ich versuche es mal Da $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ surjektiv ist, gilt $\begin{eqnarray} \forall b_1, b_2 \in B \ \exists a_1,a_2 \in A : g(a_1)=b_1 \land g(a_2)=b_2 \end{eqnarray}$ , außerdem gilt gilt $\begin{eqnarray} \forall a_1,a_2 \in A : g(a_1)=g(a_2) \Leftrightarrow h(g(a_1))=h(g(a_2)) \end{eqnarray}$ Aus beiden Aussagen zusammen ergibt sich: $\begin{eqnarray} \forall b_1,b_2 \in B \ \exists a_1,a_2 \in A : g(a_1)=b_1 \land g(a_2)=b_2 \Leftrightarrow h(g(a_1))=h(b_1) \land h(g(a_2))=h(b_2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(a_1)=g(a_2)=b_1=b_2 \Leftrightarrow h(g(a_1))=h(g(a_2)) \Leftrightarrow h(b_1)=h(b_2) \end{eqnarray}$ (welche Quantoren und bs und as kann ich hier vorschreiben? Folglich gilt auch: $\begin{eqnarray} \forall b_1,b_2 \in B : h(b_1)=h(b_2) \Rightarrow b_1=b_2 \end{eqnarray}$ So ganz überzeugt bin ich von dem nicht, was ich da geschrieben habe. Wenn ich mir das ganze "aufmale" ist mir durchaus klar warum sowohl Surjektivität von g und Gleichheit der Relationen gelten muss (ich kann je ein Beispiel konstruieren, für das h nicht injektiv ist, wenn eine Bedingungen nicht gegeben ist), dass bei Gegebenheit der Bedingungen aber automatisch Injektivität von h folgt, kann ich noch nicht so ganz greifen. Kannst du mir ein Feedback zu meinem "Beweis" geben? Dankeschön!
07.11.2014, 21:56	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen und Äquivalenzrelationen Ich weiß nicht, was du unter mathematischer Schreibweise verstehst. Für mich hat ein Beweis nicht viel damit zu tun, dass man alle Aussagen nur unter Verwendung von Quantoren und logischem UND/ODER aufschreibt. Was hindert dich daran, manches in Worte zu fassen? Von der Idee her warst du auf dem richtigen Weg, hast dich dann aber teilweise in Formalismus und Symbolen verlaufen. Warum nicht etwas in der Art: Sei $\begin{align} b_1,b_2\in B \end{align}$ mit $\begin{align} h(b_1)=h(b_2) \end{align}$ . Weil $\begin{align} g \end{align}$ surjektiv ist, gibt es $\begin{align} a_1,a_2\in A \end{align}$ mit $\begin{align} g(a_1)=b_1, g(a_2)=b_2 \end{align}$ . Dann ist $\begin{align} f(a_1)=h(g(a_1))=h(g(a_2))=f(a_2) \end{align}$ , wegen $\begin{align} \sim_g = \sim_f \end{align}$ also auch $\begin{align} g(a_1)=g(a_2) \end{align}$ und damit $\begin{align} b_1=b_2 \end{align}$
07.11.2014, 22:31	Hannibee	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen und Äquivalenzrelationen Danke schön! So wie dus aufgeschrieben hast, ists gleich viel verständlicher. Da ist einem bei jedem Schritt noch klar wo man eigentlich grad steht und wo man hin will Ich werd in Zukunft einfach mal mehr Worte und weniger Quantoren benutzen. Das dauert glaub ich einfach ein bisschen sich in die Art und Weise des Aufschreibens reinzufinden.
07.11.2014, 22:44	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen und Äquivalenzrelationen Guter Plan! Schau mal in verschiedene Bücher. Vielleicht findest in einem davon genau den Stil, der zu dir passt. Sonst kannst immer noch deinen eigenen Stil daraus kreieren
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