Beweis

07.11.2014, 13:16

Lukases2

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Beweis

Zeigen oder widerlegen Sie:
Seien $\begin{eqnarray*} m,n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ohne $\begin{eqnarray*} \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m \geq n \end{eqnarray*}$ .
i) Dann ist $\begin{eqnarray*} m + n \end{eqnarray*}$ gerade.

Meine Idee ist folgende:

1. Fall:
$\begin{eqnarray*} m=n \end{eqnarray*}$ :
Dies kann in diesem Fall auch wie folgt geschrieben werden: $\begin{eqnarray*} 2m \end{eqnarray*}$ .
Da $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ und alle seine Faktoren (also $\begin{eqnarray*} 1m, 2m, ... \end{eqnarray*}$ ) ebenfalls gerade sind, ist $\begin{eqnarray*} m+n \end{eqnarray*}$ auch gerade.

2.Fall:
$\begin{eqnarray*} m>n \end{eqnarray*}$ :
Da $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ gerade sind, muss gelten $\begin{eqnarray*} m-n=d \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ ist gerade.
Nun gilt:
$\begin{eqnarray*} m+n-d=2m-d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2m \end{eqnarray*}$ ist nach dem 1. Fall gerade, $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls gerade, also sind alle Komponenten gerade und damit der gesamte Ausdruck gerade.

Kann ich das so machen, oder ist das Schwachsinn? Unsicher bin ich mir insbesondere bei $\begin{eqnarray*} 1m, 2m, ... \end{eqnarray*}$ sind gerade und $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ ist gerade.

07.11.2014, 13:18

Iorek

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RE: Beweis

Zitat:

Original von Lukases2
Seien $\begin{eqnarray*} m,n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ohne $\begin{eqnarray*} \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m \geq n \end{eqnarray*}$ .
i) Dann ist $\begin{eqnarray*} m + n \end{eqnarray*}$ gerade.

Wenn das wirklich der gesamte Aufgabentext ist, dann solltest du dich nicht nach einem Beweis, sondern nach einem Gegenbeispiel umgucken... verwirrt

verwirrt

07.11.2014, 13:31

Lukases2

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RE: Beweis
Edit: 'Zeigen oder widerlegen Sie' hinzugefügt.

Ich habe mir gedacht, dass wenn es kein Gegenbeispiel gibt, dann muss ich einen entsprechenden Beweis führen. Oder heißt Zeigen nur ein Beispiel finden, für das die Aussage stimmt?

07.11.2014, 13:35

Iorek

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"Zeigen" heißt in der Regel beweisen, ein Beispiel ist natürlich kein Beweis.

Warum bist du denn davon überzeugt, dass diese Aussage stimmt?

07.11.2014, 13:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lukases2
Ich habe mir gedacht, dass wenn es kein Gegenbeispiel gibt,

Ich schlage vor, du machst mal eine längere Pause. Und danach fragst du dich ausgeruht nochmal, ob du nicht doch zwei natürliche Zahlen m>n findest, deren Summe ungerade ist - was dann ja ein passendes Gegenbeispiel wäre.

08.11.2014, 14:03

Lukases2

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tja, ich komme nicht drauf ...
Wenn $\begin{eqnarray*} m=n \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} 2+2=4, 4+4=8, 6+6=12,... \end{eqnarray*}$ , alles gerade.
Wenn $\begin{eqnarray*} m \geq n \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} 4+2=6, 6+2=8, 6+4=10, 8+2=10, ... \end{eqnarray*}$ , auch alles gerade. Wieso sollte die Aussage denn nicht gelten? geschockt

geschockt

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08.11.2014, 14:13

Mathema

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Zitat:

Original von Lukases2
$\begin{eqnarray*} 4+2=6 \end{eqnarray*}$

Hmm mit 2 und 4 klappt es also nicht eine ungerade Summe zu bilden. Aber liegt zwischen 2 und 4 nicht auch noch eine natürliche Zahl? verwirrt

verwirrt

08.11.2014, 14:18

Lukases2

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Zitat:

Aber liegt zwischen 2 und 4 nicht auch noch eine natürliche Zahl?

Die $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ , aber die ist bekanntlich nicht gerade.
Edit: Ja toll, die haben noch was geändert an der Aufgabenstellung (ich bekomme die online von der Uni). Hab' ich noch nicht in der Aufgabenstellung vermerkt, aber $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sollen auch gerade sein. Mein (zunächst vermeintlicher) Fehler lag darin, direkt davon auszugehen, dass m und n gerade sind. Ich kann die Änderung sogar beweisen:
http://www.mi.uni-koeln.de/numerik/de/left/teaching/current/mwinfo (Überungsblatt 5)
Sorry dafür, 'ist natürlich noch eine wichtige Information.

08.11.2014, 14:21

Mathema

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RE: Beweis

Zitat:

Original von Lukases2
Zeigen oder widerlegen Sie:
Seien $\begin{eqnarray*} m,n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ohne $\begin{eqnarray*} \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m \geq n \end{eqnarray*}$ .

Nun ja - das ist laut dieser Aufgabenstellung ja auch nicht verboten.

edit: Nun dein edit ändert so einiges. Die Summe zweier gerader natürlicher Zahlen ist natürlich auch gerade. Dann musst du also doch einen Beweis anstreben. Wenn du dir aber überlegst, wie man eine gerade Zahl mathematisch angibt, sollte das nicht allzu schwierig sein. Ansonsten helfen dir Iorek oder HAL bestimmt noch mal. Ich ziehe mich aus diesem Thread wieder zurück.

Wink

Wink

08.11.2014, 14:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lukases2
Seien $\begin{eqnarray*} m,n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ohne $\begin{eqnarray*} \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m \geq n \end{eqnarray*}$ .

Ich lese hier NICHTS davon, dass $\begin{align*} m,n \end{align*}$ gerade sein sollen. Wenn du sowas entscheidendes weglässt, musst du dich nicht wundern, dass es hier im Thread zu erheblichen Kommunikationsstörungen kommt. unglücklich

unglücklich

08.11.2014, 14:52

Lukases2

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Was schlägst du vor? Neuer korrigierter Beitrag, oder klappt das auch so?

08.11.2014, 17:47

Iorek

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Ok, mit der Änderung ist dann wie gesagt ein Beweis möglich. Wie lässt sich denn eine gerade Zahl umschreiben, was ist die charakteristische Eigenschaft einer geraden Zahl?

08.11.2014, 19:48

Lukases2

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Eine gerade Zahl ist ohne Rest durch 2 teilbar.

Im ersten Fall $\begin{eqnarray*} m=n \end{eqnarray*}$ passt das ja, $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ist nach Beh. gerade, $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ auch.

Im zweiten Fall $\begin{eqnarray*} m > n \end{eqnarray*}$ weiß ich nicht so richtig, was ich machen soll.

Liegen ich denn mit dem Ansatz Fallunterscheidung richtig?

08.11.2014, 23:17

Iorek

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Die Fallunterscheidung brauchst du hier gar nicht (man kann sie machen, aber das ist nur unnötige Arbeit).

Eine gerade Zahl ist durch 2 teilbar, wie lässt sie sich also darstellen?

09.11.2014, 11:56

Lukases2

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$\begin{eqnarray*} 2m \end{eqnarray*}$ denke ich mal.

09.11.2014, 12:33

Iorek

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$\begin{eqnarray*} 2m \end{eqnarray*}$ nicht ganz so gut geeignet, da du die gegebenen Variablen schon mit $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ benannt hast. Wenn du dafür auf einen anderen Buchstaben ausweichst, ist das aber korrekt. Damit kannst du jetzt die zwei geraden Zahlen addieren und nachweisen, dass die Summe auch gerade ist.

09.11.2014, 18:24

Lukases2

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Ich sag' jetzt einfach mal: $\begin{eqnarray*} m=2d, n=2d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m+n \Leftrightarrow 2d+2d=4d=2 \cdot 2d \end{eqnarray*}$
Da der Faktor $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ vorkommt, ist die Zahl durch 2 teilbar und damit gerade.
So?

09.11.2014, 18:30

Iorek

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Zitat:

Original von Lukases2
Ich sag' jetzt einfach mal: $\begin{eqnarray*} m=2d, n=2d \end{eqnarray*}$

Damit sagst du, dass $\begin{eqnarray*} m=n \end{eqnarray*}$ ist, das ist aber natürlich nicht immer Fall. Dein Gedanke ist aber richtig. smile

smile

10.11.2014, 10:35

Lukases2

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$\begin{eqnarray*} m := 2d, n := 2e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2d+2e=\frac{4d+4e}{2} = \frac{2(2d+2e)}{2} \end{eqnarray*}$

10.11.2014, 11:48

Iorek

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Zitat:

Original von Lukases2
$\begin{eqnarray*} 2d+2e=\color{red}\frac{4d+4e}{2} \color{black}= \frac{2(2d+2e)}{2} \end{eqnarray*}$

Warum willst du daraus einen Bruch machen? geschockt

geschockt

Seien $\begin{eqnarray*} m,n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gerade mit $\begin{eqnarray*} m\geq n \end{eqnarray*}$ . Dann existieren $\begin{eqnarray*} k,l\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m=2k,n=2l \end{eqnarray*}$ . Damit ist: $\begin{eqnarray*} m+n=2k+2l=2(k+l) \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} m+n \end{eqnarray*}$ gerade.

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