Konvergenzradius bestimmen (Wie geht das?)

07.11.2014, 13:33

Lisa_Bayfield

Auf diesen Beitrag antworten »

Konvergenzradius bestimmen (Wie geht das?)

Meine Frage:
Hallo zusammen!

Ich brauche dringend Hilfe zum berechnen vom Konvergenzradius.

Also ich habe folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k!(x+2)^k \end{eqnarray*}$

Meine Fragen sind nun:

I. Wie berechne ich den Konvergenzradius aus?
II. Es wird von einer Versetzung des Radius gesprochen (wegen den (x+2)), was ist hier gemeint?

III. Mit welcher Formel muss ich den Radius berechnen:
|ak/(ak+1)| oder mit |(ak+1)/ak|
Hier habe ich glaube ich etwas nicht mitbekommen und bitte um Erklärung. Habe in Büchern etc. nachgeschaut aber nirgends eine Erklärung welche der beiden Formeln verwendet werden muss.

Meine Ideen:
Also bis jetzt haben wir das zu der Aufgabe in der Vorlesung abgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} r=radius=roh=\lim_{k \to \infty } |\frac{k!}{(k+1)!}|=\lim_{k \to \infty } \frac{1}{k+1}=0 \end{eqnarray*}$

Soweit,so gut; nur verstehe ich folgendes nicht:

$\begin{eqnarray*} r=1 \quad X_0=-2 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe sehr ihr könnt mir helfen. Grüße, Lisa.

Latex Tags eingefügt - Guppi12

07.11.2014, 14:03

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Lisa_Bayfield
Soweit,so gut; nur verstehe ich folgendes nicht:

r=1 X_0=-2

Daran gibt's auch nichts zu verstehen, wenn du ohne jede Erklärung uns zwei Werte vor die Füße kippst.

07.11.2014, 14:23

sarrymast

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

zu den Formeln:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } | \frac{a_{n+1}}{a_{n} } |=q<1 \end{eqnarray*}$

ist das Quotientenkriterium zur Untersuchung des Konvergenzverhaltens einer
Unendlichen Reihe.

$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n \to \infty } | \frac{a_{n}}{a_{n+1} } | \end{eqnarray*}$ ist eine Möglichkeit den Konvergenzradius einer Potenzreihe zu berechnen.

Vielleicht solltest du dir nochmal den Unterschied zwischen den beiden anschauen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Allgemein zu $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ :

folgt aus der allgemeinen Darstellung der Potenzreihe:
$\begin{eqnarray*} P(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}(x-x_{0})^n \end{eqnarray*}$

Wo hast du $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$ her?

Weiter oben schreibst du doch:
$\begin{eqnarray*} r=radius=\lim_{k \to \infty } \frac{1}{k+1}=0 \end{eqnarray*}$
verwirrt

verwirrt

07.11.2014, 16:43

Lisa_Bayfield

Auf diesen Beitrag antworten »

Antwort
Hallo,

Okay, danke für die Erläuterung was die Formeln angeht.

Was den Radius r=1 angeht ist mein Problem.
Es hieß, dass der Radius verschoben wird (wegen (x+2)). Und dann hat der Prof. r=1 aufeinmal hingeschrieben. Vielleicht habe ich da etwas überhört und somit etwas falsches immeinen Unterlagen übertragen.

Stimmt denn der Radius r=0?

Und wie siehts mit der Verschiebung aus? Denn wenn ich einen Zahlenstrahl habe solle (so hieß es) der Radius verschoben werden. Ich verstehe nicht ganz, wie man darauf kommt.

"folgt aus der allgemeinen Darstellung der Potenzreihe:...."

Okay und das (x-x0)^n besagt einfach nur, wie groß der Radius ist, richtig?

Grüße!

07.11.2014, 17:41

sarrymast

Auf diesen Beitrag antworten »

Als Hinweis zur "Verschiebung":

Die Formel zur Berechnung des Konvergenzradius:

$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n \to \infty } | \frac{a_{n}}{a_{n+1} } | \end{eqnarray*}$

gilt für

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^n \end{eqnarray*}$

Und lies dir vielleicht nochmal durch was der Konvergenzradius ist, wenn du dir da nicht ganz sicher bist Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.11.2014, 14:13

Lisa_Bayfield

Auf diesen Beitrag antworten »

Antwort
Hey,

ich habe mir nun noch einmal alles zum Thema Konvergenz und Konvergenzradius durchgelesen. Ich habe nun mehr verstanden alsvorher,aber bleibe bei der Aufgabe immer noch im Dunklen.

Kann mir denn keiner weiterhelfen? :/

Anzeige

08.11.2014, 15:46

sarrymast

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie bereits angedeutet gilt die Formel

$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n \to \infty } | \frac{a_{n}}{a_{n+1} } | \end{eqnarray*}$

für

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^n \end{eqnarray*}$

probier doch mal

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k!(x+2)^k \end{eqnarray*}$

durch Substitution in eine Form zu bringen, so dass du die Formel anwenden kannst.

Was ist denn in deinem Fall $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ und was ist $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ ?

08.11.2014, 16:50

Lisa_Bayfield

Auf diesen Beitrag antworten »

Antwort
Hallo,

naja also das anist ja k! und das x^n ist (x+2)^k

Ich habe den Radius schon ausgerechnet. r=0,ist der richtig?

Grüße! (:

08.11.2014, 18:01

sarrymast

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x^k \end{eqnarray*}$ ist korrekt, du willst aber ja den Radius für $\begin{eqnarray*} (x+2)^k \end{eqnarray*}$ also musst du noch zurück substituieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.11.2014, 18:07

sarrymast

Auf diesen Beitrag antworten »

Nachtrag:
Das ganze kannst du auch überprüfen um zu schauen ob der Radius korrekt ist.

Der Konvergenzradius gibt ja an für welche Werte von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die Reihe konvergiert, setz doch mal $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein, dann sollte ja ersichtlich sein ob die Reihe konvergiert. smile

smile

09.11.2014, 01:26

Kreis

Auf diesen Beitrag antworten »

gilt das als Doppelpost? http://www.onlinemathe.de/forum/Konverge...e-mache-ich-das

09.11.2014, 15:52

Lisa_Bayfield

Auf diesen Beitrag antworten »

Antwort
@sarrymast

Okay, zurücksubstituieren ist dann also das Einsetzen für x
Also ergibt sich hier, dass die Reihe konvergiert.

@Kreis

Cool, da könnt ich auch noch reinschauen! (:

Grüße!

09.11.2014, 19:49

sarrymast

Auf diesen Beitrag antworten »

Überleg doch mal ob die Reihe konvergiert wenn $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k!(0+2)^k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } (\sum\limits_{k=1}^{n} k!(2)^k)=\sum\limits_{k=1}^{\infty} k!(2)^k=+\infty \end{eqnarray*}$

Sieht nicht so aus, oder?

Mit zurück substituieren meinte ich, dass du $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x^k \end{eqnarray*}$ hast, also die Reihe konvergiert für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ du möchtest ja aber wissen wann die Reihe für $\begin{eqnarray*} (x+2)^k \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Also ersetzt du $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wieder durch $\begin{eqnarray*} x+2 \end{eqnarray*}$

Dann hast du $\begin{eqnarray*} x+2=0 \end{eqnarray*}$ und nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aufgelöst

$\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt in die Reihe einsetzt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k!(2-2)^k = \sum\limits_{k=1}^n k!(0)^k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } (\sum\limits_{k=1}^{n} k!(0)^k)=\sum\limits_{k=1}^{\infty} k!(0)^k=0 \end{eqnarray*}$

10.11.2014, 22:55

Lisa_Bayfield

Auf diesen Beitrag antworten »

Antwort
Guten Abend,

danke,dashat mir schon gut eitergeholfen smile

smile

Grüße!

11.11.2014, 08:47

B0bus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von sarrymast
$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n \to \infty } | \frac{a_{n}}{a_{n+1} } | \end{eqnarray*}$ ist eine Möglichkeit den Konvergenzradius einer Potenzreihe zu berechnen.

Zwischenfrage meinerseits:

Diese Formel geht nur, wenn ab einem bestimmten Index alle an von 0 verschieden sind.

Aber ist das nicht immer der Fall, außer wir haben eine konstante Nullfolge? (also 0, 0, 0, 0, ... bzw. an = 0)

Dann wäre nämlich der Limes einfach 0, nehm ich an und ein Radius mit 0 ist irgendwie sinnfrei, wenns doch eigentlich einen geben sollte.

Aber gibt es noch irgendwelche Fälle, bei denen der Konvergenzradius sich nicht mit dieser Formel berechnen lässt und wo man auf die Formel von Cauchy-Hadamard zurückgreifen muss?

11.11.2014, 08:52

B0bus

Auf diesen Beitrag antworten »

Also um meine Gedanken nochmals auszuführen:

Entweder ich habe eine steigende Folge, oder eine fallende, oder eine konstante (ab einem bestimmten Index). Solang sie also ab einem bestimmten Index steigt, d.h. von 0 weg geht, ist alles super.

Wenn sie eine konstante Nullfolge ist, brauch ich die Cauchy-Hadamard.

Wenn sie ab einem bestimmten Index fällt, ist mir das egal? (das ist der Knackpunkt an meiner Überlegung!)

Nehmen wir die Folge $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ her. Das ist eine monoton fallende Nullfolge. Könnte ich darauf die obige "leichtere" Variante anwenden, oder nicht?

In der Unendlichkeit würde der Limes der Folge zu 0. Aber davor ist es sicher ungleich 0, also sollte es meiner Meinung nach gehen. Sicher bin ich trotzdem nicht.

Vielleicht sollte ich einfach immer auf Cauchy-Hadamard setzen, wenn es darum geht, den Konvergenzradius zu bestimmen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »