Urne mit Kugeln

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Malicious Auf diesen Beitrag antworten »
Urne mit Kugeln
Meine Frage:
Folgende Aufgabenstellung:

Aus einer Urne die zu Anfang eine rote und blaue Kugel enthält, wird mit zürücklegen gezogen. Bei jedem Zürücklegen wird eine Kugel der selben Farbe hinzugefügt. Es bezeichne X die Nummer des ersten Zuges,bei dem eine blaue Kugel gezogen wird.

(a) Zu zeigen: P(X>k) = , k 1

(b) Zu Zeigen P(X< ) = 1

Meine Ideen:
So also ich hab zunächst eine Wertetabelle gemacht:

1 2 3 4 5 ...
0,5 1/6 1/8 1/10 1/12 ...

so und dann habe ich versucht bei (a) mit der vollständigen Induktion zu arbeitet:

: k=1: P(X=1) = P(X>1) = = 0,5

k=2 : P(X>2) = 1/2 * 2/3 = 1/3
k=2 : P(X>3) = 1/2 * 2/3 *3/4 = 1/4

also ist erfüllt.

Ich weiß jetzt aber nicht, wie ich weiter machen soll, ich muss ja eine ordentliche formulieren

damit ich den mache also : k k+1

zu (b) habe ich auch schon was, aber esrtmal ist (a) wichtig...

Ich möchte aufjedenfall wissen, ob ich in die richtige Richtung fahre? Verbesserungsvorschläge sind mir lieb...
Malicious Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm keine Antwort unglücklich .... Hat hier keiner eine Idee, ob das richtig ist was ich mache?
 
 
Malicious Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe scheint wohl zu schwer zu sein!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Malicious
Die Aufgabe scheint wohl zu schwer zu sein!

Nein, nur langweilig technisch. Augenzwinkern


Zunächst mal das: kennzeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass es in den ersten Ziehungen nicht gelungen ist, eine blaue Kugel zu ziehen, d.h., es waren sämtlich rote Kugeln.

Damit liegen nach diesen Ziehungen genau rote und 1 blaue Kugel in der Urne. (*)


Dein Induktionsanfang ist soweit richtig.

Im Induktionsschritt berücksichtigen wir (*), wenn wir uns den -ten Zug überlegen: Mit Wahrscheinlichkeit wird da erneut eine rote Kugel gezogen, in diesem Fall sind wir immer noch nicht fertig, d.h.

,

dann Induktionsvoraussetzung einsetzen, kürzen, fertig ist der Induktionsschritt.
Malicious Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hal,

danke für deine Antwort.

: k k+1

also P(x> k+1) =

unter der : P(x>k)=

Es ergibt sich P(x> k+1) = = P(x>k)* P(x=k) = (k+1) =

hm ist das richtig so? es sieht irgendwie komisch aus verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Dein 1+1 im Zähler an manchen Stellen ist merkwürdig, bzw. besser gesagt falsch.
Malicious Auf diesen Beitrag antworten »

upp's ja natürlich die erste 1 vom Zähler soll natürlich ein k sein:

Es ergibt sich P(x> k+1) = = P(x>k)* P(x=k) = (k+1) =

so besser?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Malicious
Es ergibt sich P(x> k+1) = = P(x>k)* P(x=k) = (k+1) =

so besser?

Überhaupt nicht: Die ganze Zeile ist vollständig vergurkt. Ich hatte es doch oben schon fast hingeschrieben - was soll denn das jetzt von dir???

Induktionsschritt :

,

fertig!
Malicious Auf diesen Beitrag antworten »

achsooo ja, ich muss P(X>k+1) * P(X>k) rechnen..

ich hab P(X>k) * P(X=k) gerechnet, das war quatsch -.-


Ich hatte für (b) auch schon was raus, unzwar wir wissen aus (a) das P(X>k) = d.h. P(x=k) = = = 1

so dann muss ich nun zeigen, dass = 1

Um das zu zeigen, kann ich meine Reihe in Partialssummen zerlegen, sprich:

Es gilt -

und daher = 1- 1/2 + 1/2 - 1/3 +...+ 1/n - = 1-

=

außerdem wissen wir das der Grenzwert einer Reihe, der Grenzwert ihrer Partialsummen ist.

Also ist P(X< ) = P(X =k) = * =1

so das ist mein Weg :-) ... ist der richtig ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Malicious
achsooo ja, ich muss P(X>k+1) * P(X>k) rechnen..

Nein, auch das nicht: Was willst du nur immer wieder mit diesen seltsamen Produkten???

Tatsächlich basiert der Induktionsschritt auf

,

wobei die bedingte Wahrscheinlichkeit kennzeichnet, dass im (k+1)-ten Zug eine rote Kugel gezogen wird.

Zitat:
Original von Malicious
d.h. P(x=k) = = = 1

Arbeite bitte mal ein bisschen sauberer, deine Gleichungsketten kann ich einfach nur furchtbar nennen: Ich lese da

,

was natürlich grober Unfug ist. Vielleicht meinst du ja

,

aber dann schreib es verdammt nochmal auch so!!!

Es tut meinen Augen weh, deine Gleichungsketten mit solchen Horrorfehlern lesen zu müssen. Denn es ist nicht nur die Stelle, du arbeitest ständig so unsauber. unglücklich
Malicious Auf diesen Beitrag antworten »

ahaaa... sorry -.- ... das hatte ich noch nicht mit den bedingten WK, deswegen wusste ich auch nicht, was das genau bedeutet und wo die tatsächlich herkommt ... aber danke für die herleitung, das brauch ich bestimmt noch...

hab ich denn die (b) besser gelöst?
Malicious Auf diesen Beitrag antworten »

ich bin kein Profi aber ich werde das gleich mal korregieren.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Warum du so kompliziert bei b) vorgehst, ist mir auch nicht so ganz klar: Es ist doch

Malicious Auf diesen Beitrag antworten »

wir wissen aus (a)

das P(X>k) = d.h.

= = = 1

so dann muss ich nun zeigen, dass = 1

Um das zu zeigen, kann ich meine Reihe in Partialssummen zerlegen, sprich:

Es gilt -

und daher = 1- 1/2 + 1/2 - 1/3 +...+ - = 1-

= =

außerdem wissen wir das der Grenzwert einer Reihe, der Grenzwert ihrer Partialsummen ist.

Also ist P(X< ) = P(X =k) = *

ich erkenne jetzt keine weiteren Unsauberkeiten verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du unbedingt noch weitere Kostproben falscher Gleichungsketten haben willst:

Zitat:
Original von Malicious
Es ergibt sich P(x> k+1) = = P(x>k)* P(x=k) = (k+1) =


Zitat:
Original von Malicious
=
Malicious Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm, das ertse hab ich verstanden und deine 2. Anmerkung hab ich doch schon repariert. Und ganz am ende soll 1 rauskommen

ja, ok deins sieht besser aus... hat ja auch niemand abgestritten!
Malicious Auf diesen Beitrag antworten »

ich hätte noch eine Frage zu dieser Aufgabe gehabt, aber deine Geduld ist glaub ich schon am Ende -.-

Danke noch mal :-)
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