Erwartungswert Auszahlung Permutationsglücksspiel

07.11.2014, 17:25

Dopap

Erwartungswert Auszahlung Permutationsglücksspiel

In Anlehnung an Glücksspiel mit Gewinn

wäre die Frage wie der Erwartungswert der Auszahlung zu bestimmen ist, wenn die Auszahlung keine einfache Funktion von Y = Anzahl der Fixpunkte einer Permutation ist, sondern ein beliebiger Auszahlungsvektor $\begin{eqnarray*} a=(a_1,a_2,\cdots , a_n)^T \end{eqnarray*}$ ist.

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die Wahrscheinlichkeitsfunktion von Y ist ja:

$\begin{eqnarray*} p(Y=k)=\frac {1}{n!}\binom n k (n-k)!\bigg ( \frac {1}{ 0!} -\frac {1}{ 1!}+\frac {1}{ 2!} -\cdots + \frac {(-1)^{n-k}}{ (n-k)!} \bigg ) \end{eqnarray*}$

oder vereinfacht $\begin{eqnarray*} p(Y=k)=\frac {1}{k!} \bigg ( \frac {1}{ 0!} -\frac {1}{ 1!}+\frac {1}{ 2!} -\cdots + \frac {(-1)^{n-k}}{ (n-k)!} \bigg ) \end{eqnarray*}$

somit wäre dann $\begin{eqnarray*} E(A) = \sum_{i=1}^{n} p(Y=i)a_i \end{eqnarray*}$

das müsste für kleine n machbar sein.

Für große n :

nun ist ja die grosse Klammer ein Näherungswert für $\begin{eqnarray*} \frac 1 e \end{eqnarray*}$ , somit gilt: $\begin{eqnarray*} p(Y=k) \approx \frac {e^{-1}}{k!} \end{eqnarray*}$ was wohl die Poissonverteilung mit $\begin{eqnarray*} \lambda=1 \end{eqnarray*}$ gleichkommt.

wegen der Genauigkeit würde ich dann z.b die $\begin{eqnarray*} P(Y=n-k) ~ \text{für} ~ n-k <5 \end{eqnarray*}$ exakt berechnen, was nicht schwer ist, und die restlichen approximativ mittels der Poissonverteilung.

kann man das so halbwegs stehen lassen ?

07.11.2014, 17:48

HAL 9000

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Wie du vom anderen Thread weißt, kommt z.B. exakt

$\begin{align*} E(Y)=1 \end{align*}$

$\begin{align*} E(Y^2)=2 \end{align*}$

heraus - das sind dieselben Werte, die für $\begin{align*} Y\sim \operatorname{Exp(1)} \end{align*}$ herauskommen. D.h., wir haben da nicht nur eine approximative, sondern exakte Übereinstimmung.

Es ist eine interessante Frage, ob diese exakte Übereinstimmung auch auf die höheren Momente $\begin{align*} E(Y^k) \end{align*}$ mit $\begin{align*} k\geq 3 \end{align*}$ zutrifft - ich vermute es fast, hab es aber noch nie überprüft. (*)
Ich schau mir mal noch $\begin{align*} k=3,k=4 \end{align*}$ an - die Rechnungen werden da immer wilder, aber vielleicht ist ein Schema im Dickicht zu erkennen.

Für die Exponentialverteilung $\begin{align*} X\sim\operatorname{Exp}(\lambda) \end{align*}$ gilt übrigens für $\begin{align*} k\geq 1 \end{align*}$

$\begin{align*} E(X^k) = \int\limits_0^{\infty} x^k \lambda e^{-\lambda x} ~ \dd x = \Bigg[ -x^k e^{-\lambda x} \Bigg]_{x=0}^{\infty} + \int\limits_0^{\infty} kx^{k-1} e^{-\lambda x} ~ \dd x = \frac{k}{\lambda} E(X^{k-1}) \end{align*}$ ,

also explizit $\begin{align*} E(X^k) = \frac{k!}{\lambda^k} \end{align*}$ . Übertragen auf unseren Fall mit $\begin{align*} \lambda=1 \end{align*}$ würde bei Richtigsein von Vermutung (*) also $\begin{align*} E(Y^k) = k! \end{align*}$ sein.

EDIT: Uuups, das war wohl nix: Tatsächlich ist $\begin{align*} E(Y^3)=5 \end{align*}$ , nach Exponentialverteilung hätte man 6 erwartet. Also kann man (*) ad acta legen. Wenigstens scheint es so zu sein, dass $\begin{align*} E(Y^k) \end{align*}$ im Fall $\begin{align*} n\geq k \end{align*}$ nur von $\begin{align*} k \end{align*}$ , d.h. nicht von $\begin{align*} n \end{align*}$ abhängt.

EDIT2: Bei nochmaligen Nachdenken fällt mir ein, dass (*) von vornherein Blödsinn war: Stimmen alle Momente überein, dann auch die diskrete Verteilung, und dann kann es nur die Exponentialverteilung sein, nicht aber die der Fixpunktanzahl für konkretes endliches n.

07.11.2014, 19:05

Dopap

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schön, dass du dich nochmals um die höheren Momente gekümmert hast.

Aber, und da musst den Fragesteller auch verstehen, geht es mir doch darum, was bei einem beliebigen Auszahlungsvektor zu tun ist, der nicht ein Moment von Y ist.

Oder sind meine Überlegungen schon in Ordnung ?
Oder habe ich was überlesen?

07.11.2014, 20:11

HAL 9000

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Ja klar, für eine beliebige Auszahlungsfunktion $\begin{align*} g \end{align*}$ ist

$\begin{align*} E(g(Y)) = \sum_{i=0}^n g(i)\cdot P(Y=i)\qquad (**) \end{align*}$ ,

und ja, dass kann man dann auch über die Exp(1)-Verteilung approximieren - wobei die Abschätzung des dadurch gemachten Approximationsfehlers bei allgemeinem $\begin{align*} g \end{align*}$ erstmal ziemlich unklar ist. Bei konkreten $\begin{align*} n \end{align*}$ bleibt dann aber die Frage:

Warum überhaupt approximieren, wenn man es über die Verteilung via (**) exakt ausrechnen kann?

07.11.2014, 20:39

Dopap

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besten Dank, ich hab's soweit verstanden !

10.11.2014, 21:34

HAL 9000

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Korrektur
Ok, hat zwar keiner mitgekriegt, da es vermutlich keinen genug interessiert hat um es aufmerksam nachzuvollziehen, aber trotzdem Asche auf mein Haupt:

Die Zufallsgröße $\begin{align*} X \end{align*}$ ist natürlich NICHT exponentialverteilt $\begin{align*} \operatorname{Exp}(1) \end{align*}$ (das wäre stetig), sondern diskret poissonverteilt $\begin{align*} \operatorname{Poisson}(1) \end{align*}$ - was für eine idiotische Verwechslung von mir, zumal es Dopap ja auch deutlich hingeschrieben hat. Finger1

Das hat verschiedene Konsequenzen: So gilt z.B. nicht mehr für das $\begin{align*} k \end{align*}$ -te Moment die Formel $\begin{align*} E(X^k) \stackrel{?}{=} k! \end{align*}$ , sondern $\begin{align*} E(X^k) = B_k \end{align*}$ , wobei letzteres sogenannte Bellsche Zahlen sind. Da lauten die ersten

1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, ...

genau das kommt für $\begin{align*} E(Y^k) \end{align*}$ heraus, sofern $\begin{align*} k\leq n \end{align*}$ ist. Und diese Gleichheit kann (anders als von mir oben behauptet) ja doch möglich sein, da für $\begin{align*} k>n \end{align*}$ dann doch $\begin{align*} E(Y^k) \end{align*}$ von dieser Bellschen Zahl $\begin{align*} B_k \end{align*}$ abweicht, und zwar nach unten.

10.11.2014, 21:53

Dopap

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RE: Korrektur

Zitat:

Original von HAL 9000
Ok, hat zwar keiner mitgekriegt, da es vermutlich keinen genug interessiert hat um es aufmerksam nachzuvollziehen[...]

Das kann und will ich auch nicht immer. Zumal man einfach auch nicht auf die Idee kommt, daß der Computer Fehler machen könnte

Zitat:

[...] zumal es Dopap ja auch deutlich hingeschrieben hat. Finger1

Respekt, das ehrt dich Freude

10.11.2014, 22:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
Das kann und will ich auch nicht immer. Zumal man einfach auch nicht auf die Idee kommt

Das war auch gar kein Vorwurf, sondern nur für mich die Erklärung, dass es keiner mitgekriegt hat.

Es ist ja so, dass Exponentialverteilung und Poissonverteilung immer eng inhaltlich verbandelt sind, z.B. in der Warteschlangentheorie: Da ist das gängige Einstiegsmodell, dass die Zeit zwischen der Ankunft zweier aufeinander folgender Kunden exponentalverteilt ist - in dem Zusammenhang ist dann die zufällige Anzahl der in einem festen Zeitintervall ankommenden Kunden poissonverteilt. So schwirrt mit der einen Verteilung auch stets die andere im Kopf herum, was natürlich trotzdem nicht die Verwechslung einer stetigen mit einer diskreten Zufallsgröße entschuldigt. Augenzwinkern

10.11.2014, 22:21

Dopap

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Zitat:

Original von HAL 9000
[...]Das war auch gar kein Vorwurf, sondern nur für mich die Erklärung, dass es keiner mitgekriegt hat.

genauso habe' ich es auch gelesen. Augenzwinkern

Ich muss ja nicht mehr Klausuren schreiben und kann es deshalb geruhsam angehen .
Es ist ja letztlich nur die innere Freude an der Mathe, die mich hier gelegentlich verweilen lässt.

Noch 'nen schönen Abend !

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