Surjektivität einer Abbildung, sowie die Verknüpfung von Abbildungen

07.11.2014, 17:37

User1

Surjektivität einer Abbildung, sowie die Verknüpfung von Abbildungen

Ich habe 2 Aufgaben, bei deren Lösungen ich unsicher bin.

1.) Ist die Abbildung g surjektiv, [...]? Bestimmen Sie ggf. die Umkehrabbildung.
$\begin{eqnarray*} g:[0,\infty ) \rightarrow [0,1) , x \mapsto \frac{x^{2}}{1+x^{2}} \end{eqnarray*}$

Surjektivität liegt vor, wenn der gesamte Wertevorrat von g aufgebraucht wird, also gilt: $\begin{eqnarray*} \forall y\in [0,1) \ \exists x\in [0,\infty ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^{2}}{1+x^{2}} \ \ \ \ |*(1+x^{2}) \ \ \ ((1+x^{2}) > 0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2}=y(1+x^{2}) \ \Longleftrightarrow \ x^{2} = y + x^{2}y \ \Longleftrightarrow \ x^{2}-x^{2}y = y \ \Longleftrightarrow \ x^{2}(1-y)=y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2} = \frac{y}{1-y} \\ | x| = \pm \sqrt{\frac{y}{1-y}} = \pm \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{1-y}} \end{eqnarray*}$

Da damit die Aussage, das es für jedes y im Intervall [0,1) ein x in [0, $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ) exisitiert wahr ist, ist g surjektiv. Die Injektivität hatte ich bereits anderweitig bewiesen, g ist demnach bijektiv und es kann eine Umkehrabbildung angegeben werden. Bei der Formulierung dieser bin ich mir unsicher:

$\begin{eqnarray*} g^{-1}: [0,1) \rightarrow [0,\infty ), y \mapsto \pm \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{1-y}} \end{eqnarray*}$ Stimmt das so?

2.) Bestimmen Sie für die Abbildungen f und g, sofern möglich, die Abbildungsvorschriften $\begin{eqnarray*} g \circ f, \ g \circ g \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R , x \mapsto x^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g:[0,\infty ) \rightarrow (0,1] , x \mapsto \frac{1}{1+x^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ ist erklärt, da die Bildmenge von f eine Teilmenge des Definitionsbereiches von g ist: $\begin{eqnarray*} f(\mathbb R )= [0,\infty ) \subseteq [0,\infty ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g \circ f: \mathbb R \rightarrow (0,1],x \mapsto (g \circ f)(x) = \frac{1}{1+(x^{2})^{2}} = \frac{1}{1 + x^{4} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g \circ g \end{eqnarray*}$ ist erklärt, da die Bildmenge von g eine Teilmenge des Definitionsbereiches von g ist: $\begin{eqnarray*} g([0,\infty ))= (0,1] \subseteq [0,\infty ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g \circ g: [0,\infty ) \rightarrow (0,1] , x \mapsto (g \circ g)(x) = \frac{1}{1 + (\frac{1}{1+x^{2}})^{2} } = \frac{1}{1 + \frac{1}{x^{4}+2x^{2}+1} } \end{eqnarray*}$

Passt das so, oder hab ich da etwas durcheinander geworfen?

10.11.2014, 22:59

Lithiesque

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RE: Surjektivität einer Abbildung, sowie die Verknüpfung von Abbildungen

Zitat:

Original von User1
$\begin{eqnarray*} x^{2} = \frac{y}{1-y} \\ | x| = \pm \sqrt{\frac{y}{1-y}} = \pm \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{1-y}} \end{eqnarray*}$

Der Betrag ist immer nichtnegativ, folglich hat das $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ da nichts verloren.
In diesem Fall ist übrigens ja sogar $\begin{eqnarray*} x\in [0,\infty) \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} |x| = x \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

$\begin{eqnarray*} g^{-1}: [0,1) \rightarrow [0,\infty ), y \mapsto \pm \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{1-y}} \end{eqnarray*}$ Stimmt das so?

Nein, denn die Funktionsvorschrift ist keine Funktionsvorschrift. Wie oben: Die Umkehrabbildung muss nach $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ abbilden, also sind die Werte $\begin{eqnarray*} -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{1-y}}, y > 0, \end{eqnarray*}$ nicht sinnvoll, da negativ. Lass wieder das $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ einfach weg.

2.) sollte passen.

11.11.2014, 01:24

User1

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Das mit dem +- ist mir auch noch eingefallen, danke.

11.11.2014, 13:38

BissleBlöd

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RE: Surjektivität einer Abbildung, sowie die Verknüpfung von Abbildungen

Zitat:

Original von Lithiesque

Nein, denn die Funktionsvorschrift ist keine Funktionsvorschrift.

Sehr schöne Aufgabe und sehr tolle Hilfetipps. Aus reinem Interesse. Ich versteh warum x nie negativ werden kann (ist ja per Df-Menge festgelegt). Aber warum genau ist das keine Abbildungsvorschrift? Könntest du das näher erläutern?

11.11.2014, 17:30

Lithiesque

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Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf einer Menge $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ordnet jedem $\begin{eqnarray*} x\in D \end{eqnarray*}$ genau ein $\begin{eqnarray*} y\in f(D) \end{eqnarray*}$ zu. Eine Vorschrift wie $\begin{eqnarray*} y\mapsto\pm\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{1-y}} \end{eqnarray*}$ tut dies i.A. nicht, denn sie ordnet jeder Zahl $\begin{eqnarray*} y\in(0,1) \end{eqnarray*}$ genau zwei Zahlen zu, von denen eine positiv und die andere negativ ist.

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