Summe

07.11.2014, 17:45

Huzz

Summe

Ich soll zeigen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{(n+1)}{k^{2}+k } = n \end{eqnarray*}$

Ich habe leider gar keinen Plan und die Lösung aus meinem Buch erscheint mir total unverständlich.

07.11.2014, 17:52

Gast11022013

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RE: Summe
Was ist denn der Lösungsweg deines Buches, oder was genau verstehst du daran nicht?
Kannst du dein Problem mit der Aufgabe präzisieren?

07.11.2014, 18:04

Huzz

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Zunächst "klammern" sie (n+1) aus und ziehen es vor die Summe. Seit wann geht denn sowas, das ist doch keine Konstante? Oder etwa doch?

Danach zerlegen sie den Rest in der Klammer, also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^{2}+k } \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}) \end{eqnarray*}$ . Wie das denn bitte? Wenn ich den Bruch aufteile komme ich auf $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{k}*\frac{1}{k+1}) \end{eqnarray*}$ . Soweit erstmal dazu verwirrt

07.11.2014, 18:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von Huzz
Wie das denn bitte?

Per Partialbruchzerlegung - solltest du schon mal gehört haben.

Und nur weil $\begin{align*} \frac{1}{k}\cdot \frac{1}{k+1} \end{align*}$ richtig ist, muss $\begin{align*} \frac{1}{k}- \frac{1}{k+1} \end{align*}$ ja nicht falsch sein. Oder sagst du auch "2+2 ist nicht 4, weil ja bereits 2*2=4 ist". Teufel

07.11.2014, 18:32

Gast11022013

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Doch (n+1) ist innerhalb der Summe konstant. Die Laufvariable ist ja das k. Deshalb ist dieser Schritt möglich.

Für die Zerlegung

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^2+k} \end{eqnarray*}$ wird eine Partialbruchzerlegung gemacht. Das diese Umformung stimmt kannst du nachrechnen, auf sie zu kommen ist vielleicht ein wenig schwieriger wenn man sowas vorher noch nicht gesehen hat.

Überlegen kannst du dir das ganze allerdings so

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^2+k}=\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k+1-k}{k(k+1)} \end{eqnarray*}$

Hier haben wir im Zähler eine "Null" dazu addiert. Nun können wir den Bruch etwas auseinanderziehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{k+1}{k(k+1)}-\frac{k}{k(k+1)} \end{eqnarray*}$

anschließend wird gekürzt.

Ansonsten gibt es mehrere Möglichkeiten, zum Beispiel sollte diese Aufgabe auch ohne größere Probleme mit vollständiger Induktion lösbar sein. Vielleicht wäre das ein Weg auf den du hättest eher kommen können.

07.11.2014, 18:39

Huzz

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Ehrlich gesagt: nein unglücklich

(bin kein Mathestudent). Die Aufgabe steht in meinem Buch auf S. 184 und der Begriff kommt auf S.323... Wie soll ich denn das dann lösen?

EDIT: Ok, jetzt seh ich den anderen Weg. Das kann ich nachvollziehen. Wobei der nächste und letzte Schritt noch besser ist. Jetzt fällt die gesamte Summe einfach weg und stehen bleibt:

$\begin{eqnarray*} (n+1)(1-\frac{1}{n+1}) \end{eqnarray*}$

Wie kriegen die die Summe so einfach weg?

07.11.2014, 18:44

Gast11022013

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Durch diese Zerlegung des Bruches wird nun sichtbar, dass es sich um eine sogenannte "Teleskopsumme" handelt, weil man sie so kompakt zusammenschieben kann.

Vielleicht schreibst du dir für die ersten 5 k-Werte mal die Terme hin, welche für

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{k+1} \end{eqnarray*}$

entstehen.

Dann fällt dir vielleicht etwas auf.

Edit:

Zitat:

Die Aufgabe steht in meinem Buch auf S. 184 und der Begriff kommt auf S.323... Wie soll ich denn das dann lösen?

Es hier als Partialbruchzerlegung zu bezeichnen ist vielleicht ein wenig viel des guten. Denn eine "echte" Zerlegung würde man eher nicht machen und den Trick mit der Null anwenden. Und das läuft dann eher wieder als Standardtrick. Wie gesagt gibt es hier auch mehrere verschiedene Lösungswege. Kennst du dich mit Induktion aus?
Dann probiere es doch mal mit Induktion und finde heraus ob dir dieser Weg vielleicht besser gefällt.

07.11.2014, 19:50

Huzz

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Danke für die Ausführungen, ich hab das nachvollziehen können und auch in meinem Buch nachgelesen. Tatsächlich ist da sogar eine sehr analoge Aufgabe vorne drin, leider wird im Aufgaben bzw. Lösungsteil nicht drauf verwiesen. Ist schon bisschen tricky Augenzwinkern

als nächstes schaue ich mir die Induktionsversion mal an.

LG

07.11.2014, 20:00

Gast11022013

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Gern geschehen.

08.11.2014, 22:50

Huzz

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Ich habs heute nochmal angeschaut und mit der Induktion tatsächlich was hinbekommen. Was mich allerdings gestört hat war, dass sich der Endpunkt der Zählvariabel ja IN der Summe selbst befunden hat und dadurch mir bekannte Techniken nicht wirklich greifen konnten.

Letztlich hab ichs dann runtergebrochen auf

$\begin{eqnarray*} n+\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^{2}+k }+\frac{n+2}{(n+1)^{2}+(n+1) } = n+1 \end{eqnarray*}$

Die letzte Summe ist wieder das, was wir letztes mal hier schon hatten. Also um die scheint man nicht rum zu kommen, oder? Also bitte keine konkreten Ansätze, die Zeit könnt ihr euch sparen. Nur so aus Neugierde. Augenzwinkern

08.11.2014, 22:54

Gast11022013

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Hast du da beim aufschreiben einen Tippfehler begangen?

Soll vor der Summe vielleicht

(n+1) stehen und nicht "n+"

08.11.2014, 22:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von Huzz
Was mich allerdings gestört hat war, dass sich der Endpunkt der Zählvariabel ja IN der Summe selbst befunden hat und dadurch mir bekannte Techniken nicht wirklich greifen konnten.

Aus genau dem Grund betrachtet man ja die (nach Division durch $\begin{align*} (n+1) \end{align*}$ ) äquivalente Behauptung

$\begin{align*} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2+k} = \frac{n}{n+1} \end{align*}$ ,

damit die "bekannten Techniken greifen".

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