Berechnung der Eigenwerte

07.11.2014, 21:31	mausebär	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung der Eigenwerte Meine Frage: Guten Abend Leute, vielleicht kann mir jemand von euch weiterhelfen: Ich habe die Matrix A = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1/2 & 1/4 & 1/4 \\ 1/8 & 1/4 & 5/8 \\ 1/4 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Aufgabe besteht darin alle Eigenwerte auszurechnen. Mein Problem sind die Brüche.....da vertue ich mich ständig. Meine Ideen: Also was ich nun gemacht habe: ich habe erst einmal alle meine Werte auf einen Nenner gebracht (in diesem Falle 8) und habe dann 1/8 ausgeklammert, damit ich nur noch ganze Zahlen zum Rechnen habe. Dann kommt bei mir die Matrix heraus: A = 1/8 * $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 5 \\ 2 & 4 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun muss ich ja das charakteristische Polynom aufstellen indem ich rechne det (A-LambdaE) mit E = Einheitsmatrix, dieses Polynom = 0 setzen und meine Nullstellen, bzw. Eigenwerte berechnen. Was ich nun gemacht habe (und ich glaube hier liegt genau mein Fehler!!!) ist, ich habe die 1/8 vor die Determinante gezogen und dahinter meine A-LambdaE Matrix geschrieben. Also würde ich nun rechnen: 1/8* det $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4-lambda & 2 & 2 \\ 1 & 2-lambda & 5 \\ 2 & 4 & 4-lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Habe ich hier schon einen Fehler gemacht, indem ich die 1/8 rausgezogen habe? Mein nächste Schritt wäre dann die beiden letzten Zeilen miteinander zu verrechnen, sodass ich unten links eine 0 heraus bekomme, was mir das Entwickeln erleichtert, da ich ja nur nach 2 Werten entwickeln muss... Vielen Dank schonmal für Eure Hilfe
07.11.2014, 21:37	mausebär	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso noch ein Nachtrag: Ich habe es auch einmal versucht, ohne die 1/8 rauszuziehen, bzw. ohne alle Werte von A auf einen Nenner zu bringen. Leider bekomme ich dann hinterher für das charakteristische Polynom ein Polynom 3ten Grades raus, woran ich die Nullstellen nicht ablesen kann (vermutlich bin ich zu blöd )
07.11.2014, 22:01	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Für eine $\begin{align} n\times n \end{align}$ Matrix $\begin{align} M \end{align}$ und einen Skalar $\begin{align} r \end{align}$ ist $\begin{align} \det(rM)=r^n\det(M) \end{align}$
07.11.2014, 22:17	mausebär	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldige ich stehe grad ein wenig auf dem Schlauch...was sagt mir das jetzt genau?
07.11.2014, 22:18	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie du einen Faktor vor die Determinante ziehen kannst.
07.11.2014, 22:27	mausebär	Auf diesen Beitrag antworten »
also muss ich die 1/8 noch hoch 3 rechnen weil ich eine 3x3 Matrix habe?
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07.11.2014, 22:30	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Allerdings musst du dir noch überlegen, von welcher Matrix du dann die Determinante berechnen musst. Edit: Da kommen wohl keine einfachen Eigenwerte heraus.

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