Reihenabschätzung harmonische Reihe

08.11.2014, 11:42

winki2008

Reihenabschätzung harmonische Reihe

Welches Verfahren würde ihr zum Abschätzen anwenden?

Ich könnte ja behaupten:

a) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\geq \frac{1}{4} +\frac{1}{5} +\frac{1}{6} +\frac{1}{7} +....\geq 3 \frac{1}{6} + 6 \frac{1}{12} + ....=\sum\limits_{n=1}^{m} \frac{1}{6n} \cdot \frac{6n}{2} \end{eqnarray*}$

dann bilde ich die Partialsumme von m bis die ungleichung erfüllt ist

oder $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot m \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N1=m \cdot 6 \end{eqnarray*}$

kann man daraus etwas Schöneres basteln oder geht das auch mit Restglied Rn abschätzen?

Danke

[attach]35985[/attach]

09.11.2014, 00:45

Sidney Huffman

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RE: Reihenabschätzung harmonische Reihe

Zitat:

Welches Verfahren würde ihr zum Abschätzen anwenden?

Hallo,

ich würde
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} + \frac{1}{5} +\frac{1}{6} +\frac{1}{7} + \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$
betrachten, und die ersten drei der letzten vier Summanden nach unten abschätzen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} +\frac{1}{6} +\frac{1}{7} + \frac{1}{8}\quad{\tt>}\quad\frac{1}{8} +\frac{1}{8} +\frac{1}{8} + \frac{1}{8} \quad = 4\cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Dass bereits $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}{\tt>}\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist, ignoriere ich, denn mit der Betrachtung einer $\begin{eqnarray*} {2}^{n} \end{eqnarray*}$ -fachen Anzahl an Summanden komme ich stets leichter auf den geforderten Wert 1/2, siehe dazu die Bestimmung eines hinreichend großen N2 mit 16 Summanden:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=17}^{32} \frac{1}{n} {\tt>} \quad 16 \cdot \frac{1}{32}= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Wie würde ich die nächste Summe ansetzen, um das bisher bei N1 und N2 Gezeigte fortzusetzen?
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=m}^{2048} \frac{1}{n} {\tt>}\quad \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .
Anders gefragt: Wie würde ich m wählen, um zu zeigen, dass 2048 ein hinreichend großer Wert für N3 ist?

09.11.2014, 09:04

HAL 9000

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Die Aufgabenstellung ist übrigens sehr unglücklich formuliert:

Zitat:

Wie weit müssen Sie summieren [...] wie groß müssen Sie $\begin{align*} N_1,N_2 \end{align*}$ und $\begin{align*} N_3 \end{align*}$ wählen [...]

Von müssen kann hier keine Rede sein. Was dem Aufgabensteller ja tatsächlich inhaltlich vorschwebt ist

Zitat:

Geben Sie geeignete $\begin{align*} N_1,N_2 \end{align*}$ und $\begin{align*} N_3 \end{align*}$ an, so dass durch Abschätzung gesichert werden kann, dass die genannten Summen jeweils sicher den Wert $\begin{align*} \frac{1}{2} \end{align*}$ übersteigen.

Denn es ist für

$\begin{align*} \frac{1}{s} + \frac{1}{s+1} + \ldots + \frac{1}{N} \geq \frac{1}{2} \end{align*}$

keineswegs notwendig, $\begin{align*} N\geq 2s-2 \end{align*}$ zu wählen, es geht z.B. wegen

$\begin{align*} \frac{1}{s} + \frac{1}{s+1} + \ldots + \frac{1}{N} \geq \int\limits_s^{N+1} \frac{\dd x}{x} = \ln(N+1)-\ln(s) \end{align*}$

für größere $\begin{align*} s \end{align*}$ auch ein ganzes Stückchen kleiner, nämlich $\begin{align*} N\geq \sqrt{e}\cdot s-1 \approx 1.649\cdot s-1 \end{align*}$ . Soweit also zu dem müssen. Augenzwinkern

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