Polyeder und ihr Rand

08.11.2014, 11:54	Caruzou	Auf diesen Beitrag antworten »
Polyeder und ihr Rand Meine Frage: Hallo, ich bereite gerade einen Seminarvortrag zum Thema Polyeder und ihr Rand vor und der Beweis für eine Proposition (aus dem Buch Geometry II von Berger (12.1.9)) bereitet mir Schwierigkeiten: Let P be a convex polyhedron with non-empty interior i)If x is an element of FrP (Rand von P), the intersection of the hyperplanes determined by faces containing x coincides with the intersection of the supporting hyperplanes to P at x. Thus the points of order a of P form the relative interior of the a-faces of P and, in particular, the vertices of P coincide with its 0-faces ii)the vertices of P coincide with the extremal points of P Meine Ideen: Also für den Teil ii) brauche ich keine Hilfe, da ich an der Stelle bereits einen Lösungsansatz habe. i) bereitet mir große Schwierigkeiten. Ich muss ja zeigen, dass der Durchschnitt der Hyperebenen H_i gleich dem Durchschnitt der Stützebenen H sein muss, also $\begin{eqnarray} \cap H_i = \cap H \end{eqnarray}$ . Die eine Richtung ist trivial, nämlich dass $\begin{eqnarray} \cap H \subseteq \cap H_i \end{eqnarray}$ . Mir fehlt der Beweis für die andere Richtung. Ich weiß, dass ich diesen über Induktion machen muss. Aber leider komme ich nicht auf die Idee :-(. Vielleicht kann mir hier ja jemand helfen. Vielen Dank im voraus. Mfg
10.11.2014, 08:15	Caruzou	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polyeder und ihr Rand Irgendwelche Ideen zu dem Beweis? Stehe da leider gerade wirklich auf dem Schlauch :-(
10.11.2014, 10:24	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kenn mich mit den Begriffen ja nicht so aus, aber sind $\begin{align} H_i \end{align}$ und $\begin{align} H \end{align}$ wirklich direkt die Ebenen, von denen du redest, oder nicht doch eher die Halbräume, die durch die entsprechenden Hyper- bzw. Stützebenen begrenzt werden?
10.11.2014, 10:41	Caruzou	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort :-). Also $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} H_i \end{eqnarray}$ sollen tatsächlich die Stütz- bzw. die Hyperebenen sein. Die Halbräume wurden im Beweis vorher mit R definiert. Vielleicht hilft es, wenn ich ich an dieser Stelle nochmal kurz den Beweis von Berger hier reinschreibe: If H is a supporting Hyperplane to P, one of the half-spaces defined by H, say R, satiesfies P = P $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ R. If H is not one of the $\begin{eqnarray} H_i \end{eqnarray}$ , we dont have to worry about it. Dieser Beweis ist natürlich viel zu kurz und für mich und meine gewollte Induktion auch nicht sehr hilfreich
10.11.2014, 11:23	Caruzou	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Professor hat mir noch als Hilfe mitgegeben, dass ich zeigen soll: H ist Stützhyperebene mit $\begin{eqnarray} H \cap int F_i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ leere Menge $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} H = H_i \end{eqnarray}$ (wobei $\begin{eqnarray} F_i = H_i \cap P = H_i \cap FrP \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} int F_i = F_i \bigcup H_j \end{eqnarray}$ , j $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ i)

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