Verteilung bestimmen

08.11.2014, 16:23

Polymolygoly

Verteilung bestimmen

Meine Frage:
Zu einer Vorlesung haben sich $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ Studierende angemeldet .Diese sind in einer Liste im Studenregister basierend auf ihre Matrikelnummer mit den IDs $\begin{eqnarray*} 1,2...N \end{eqnarray*}$ durchnummieriert.Von diesen werden gleichzeitg $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Studierende $\begin{eqnarray*} (1<n<N) \end{eqnarray*}$ zufällig gezogen ,um sie einer Übungsgruppe zuzuordenen.Bestimme jeweils die Verteilung der größten und der kleinsten gezogen ID.

Meine Ideen:

Mein Problem ist,ich bin noch nicht so ganz mit den Verteilungsmodellen vertraut und weiss nicht, welches ich nehmen soll für die jeweilige Anfrage in dieser Aufgabe

08.11.2014, 18:51

HAL 9000

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Erstmal brauchst du ein geeignetes Modell für die $\begin{align*} n \end{align*}$ gezogenen Nummern $\begin{align*} X_1,\ldots,X_n \end{align*}$ : Es ist $\begin{align*} X_1,\ldots,X_n\in \{1,2,\ldots,N\} \end{align*}$ und alle diese gezogenen Nummern sind voneinander verschieden.

Das entspricht "Variationen von $\begin{align*} n \end{align*}$ aus $\begin{align*} N \end{align*}$ ohne Wiederholung", davon gibt es $\begin{align*} |\Omega| = \frac{N!}{(N-n)!} \end{align*}$ . Man kann das als Laplace-Modell betrachten, d.h. jede dieser Auswahlen ist gleichwahrscheinlich mit Wahrscheinlichkeit $\begin{align*} \frac{1}{|\Omega|} \end{align*}$ , damit kann man alle Fragen hier beantworten, wenn man sich intensiv mit Minimum und Maximum der $\begin{align*} X_i \end{align*}$ auseinandersetzt.

08.11.2014, 20:34

Dopap

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Zitat:

Original von HAL 9000
[...]
Das entspricht "Variationen von $\begin{align*} n \end{align*}$ aus $\begin{align*} N \end{align*}$ ohne Wiederholung", ]...]

meinst du damit: ohne Zurücklegen, was die Formel ( und die Aufgabe ) nahelegt.

Unter Wiederholungen verstehe ich, wenn z.B. eine Urne mehrfache gleiche Kugeln enthält.

08.11.2014, 20:36

HAL 9000

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Der eingeführte und auch übliche Terminus ist nun mal "Variation ohne Wiederholung" oder aber auch "Variation ohne Zurücklegen" genannt. Hätte nicht gedacht, dass man das dir auch nochmal so verklickern muss.

http://de.wikipedia.org/wiki/Variation_%...ne_Wiederholung

09.11.2014, 11:23

Polymolygoly

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ok ich probier mal also da es ja ohne Reihenfolge und ohne zurück legen ist ,ist eine Kombination ohne Wdh.und zurücklegen das heißt nochmal zusammengefasst, der Grundraum $\begin{eqnarray*} |\Omega|:=\left\{ \binom {N}{n}\right\} \end{eqnarray*}$

Jetzt führe ich eine Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ein und definiere $\begin{eqnarray*} A_1:=\left\{X\leq k\right\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \leq k \leq N \end{eqnarray*}$ .Das heißt,dass keines der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Lose größer wird als $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow n \in \left\{1,...,k\right\} \Rightarrow |A_1| :=\left\{\binom{k}{n}\right\} \end{eqnarray*}$ Da ja $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Lose aus $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gezogen werden ohne Reihenfolge, ohne Zurücklegen.Deshalb ist die kleinsten Verteilung der gezogen ID $\begin{eqnarray*} P(X\leq k)= \frac{\binom{k}{n}}{\binom {N}{n}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \leq k \leq N \end{eqnarray*}$

für das maximun hab ich leider noch keine idee

09.11.2014, 12:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von Polymolygoly
für das maximun hab ich leider noch keine idee

Ich hab das eigentlich so verstanden, dass dein $\begin{align*} X \end{align*}$ das Maximum ist, vom Ergebnis her passt es ja auch. Freude

Es fehlt also noch das Minimum, was aber praktisch mit derselben Idee zu behandeln ist. Ja, sogar die gemeinsame Verteilung beider Größen Minimum und Maximum kann man so knacken.

09.11.2014, 13:44

Polymolygoly

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okee

ich versuchs $\begin{eqnarray*} A_2:=\left\{ X \leq k\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \leq n \leq K \end{eqnarray*}$

also kann $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nie kleiner werden als $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ . Deshalb ist $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aus der menge $\begin{eqnarray*} n \in \left\{k,....,N\right\} \Rightarrow |A_2|:= \left\{\binom {N-k}{n}\right\} \end{eqnarray*}$

Deshalb ist $\begin{eqnarray*} P(X \leq k)= \frac{|A_2|}{|\Omega|}=\frac{\binom {N-k}{n}}{\binom {N}{n}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k \leq n \leq K \end{eqnarray*}$

ist das Richtig so, kann man das einfach so $\begin{eqnarray*} N-k \end{eqnarray*}$ setzen? und ich hab zwar eine Begründung im kopf für $\begin{eqnarray*} N-k \end{eqnarray*}$ ,aber weis nicht ,ob die richtig ist,da man ja $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ lose aus einer "Urne" mit $\begin{eqnarray*} N-k \end{eqnarray*}$ losen zieht.

ist so die Aufgabe fertig?

09.11.2014, 14:04

HAL 9000

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Irgendwie halte ich es für keine gute Idee, in ein und derselben Problemstellung alle Zufallsgrößen mit demselben $\begin{align*} X \end{align*}$ zu bezeichnen. Überhaupt sollte man alle verwendeten Zufallsgrößen vor der ersten Benutzung ordentlich einführen - ist eine Frage des guten Stils, der leider hier im Board bei den Fragestellern nur sehr selten zu finden ist: Meist wird ohne Erklärung mit der Tür ins Haus gefallen - und der Helfer darf dann rätseln, was nun inhaltlich gemeint ist. unglücklich

Daher:

$\begin{align*} X \end{align*}$ ... Maximum der $\begin{align*} n \end{align*}$ ausgewählten Losnummern

$\begin{align*} Y \end{align*}$ ... Minimum der $\begin{align*} n \end{align*}$ ausgewählten Losnummern

In deinem ersten Beitrag ging es um das Ereignis $\begin{align*} [X\leq k] \end{align*}$ , was gleichbedeutend damit war, dass alle Losnummern aus der Menge $\begin{align*} \{1,\ldots,k\} \end{align*}$ stammen, zumindest unter der Einschränkung $\begin{align*} n\leq k\leq N \end{align*}$ .

Analog kann man für $\begin{align*} Y \end{align*}$ das Ereignis $\begin{align*} [Y>k] \end{align*}$ betrachten, was gleichbedeutend damit ist, dass alle Losnummern aus der Menge $\begin{align*} \{k+1,k+2,\ldots,N\} \end{align*}$ stammen (diese Menge enthält genau $\begin{align*} (N-k) \end{align*}$ Zahlen), diesmal unter der Einschränkung $\begin{align*} 0\leq k\leq N-n \end{align*}$ . Es ist dann also

$\begin{align*} P(Y>k) = \frac{\binom{N-k}{n}}{\binom{N}{n}} \end{align*}$

Die Verteilungsfunktion ist indes $\begin{align*} P(Y\leq k) \end{align*}$ , aber das sollte ja dann kein größeres Problem sein, die mit Hilfe von $\begin{align*} P(Y>k) \end{align*}$ darzustellen.

09.11.2014, 15:53

polymolygoly

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Ich bin doof ich komme nicht auf die Verteilungsfunktion.Ich hab im skript ein beispiel mit 2-fachem muenzwurf aber, das bringt mich jetzt nicht weiter. ..:/ Pardon HAL9000

09.11.2014, 16:00

HAL 9000

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$\begin{align*} Y\leq k \end{align*}$ ist das Gegenteil von $\begin{align*} Y>k \end{align*}$ , demnach ist

$\begin{align*} F_Y(k) = P(Y\leq k) = 1-P(Y>k) \end{align*}$ .

09.11.2014, 16:53

Polymolygoly

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kann man denn noch sagen, dass

$\begin{eqnarray*} X>k \end{eqnarray*}$ ist das gegenteil von $\begin{eqnarray*} X\leq k \end{eqnarray*}$

und deshalb $\begin{eqnarray*} G_X(k) = P(X>k)=1- P(X\leq k) \end{eqnarray*}$ oder braucht man die gar nicht mehr?

09.11.2014, 17:05

HAL 9000

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Tja, ich weiß nicht: Im Normalfall genügt bei der Frage nach der Verteilung die Angabe der Verteilungsfunktion. Eine zweite Angabe wie dein $\begin{align*} G_X \end{align*}$ ist ja irgendwie unnötig redundant.

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