komplexe aufgaben

08.11.2014, 17:55

akamanston

komplexe aufgaben

hi,

es geht um folgende aufgaben
$\begin{eqnarray*} z^{5} =1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z^{3} =1 \end{eqnarray*}$

fangen wir mit $\begin{eqnarray*} z^{3} =1 \end{eqnarray*}$ an

$\begin{eqnarray*} z^{3} -1=(z-1)(z^{2} +z+1) \end{eqnarray*}$ somit habe ich die reelle lösung $\begin{eqnarray*} z_{1}=1 \end{eqnarray*}$ und die die komplexe lösung $\begin{eqnarray*} z_{2,3}=\frac{-1\pm \sqrt{-3} }{2} \end{eqnarray*}$

bei $\begin{eqnarray*} z^{5} =1 \end{eqnarray*}$ hab ich nicht wirklich keine idee.

$\begin{eqnarray*} z^{5} -1=(z-1)(z^{4} +z^{3}+z^{2}+z+1) \end{eqnarray*}$ und nun?

und anschließend noch so komische fragen.
welche regelmäßigen n-ecke kann man mit zirkel und lineal konstruieren? alle, weil r=1 ist?
was ist das besondere am 7-eck und am 65537-eck?

08.11.2014, 18:39

Stefan03

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Stelle die komplexe Zahl mal in den Polarkoordinaten dar.

08.11.2014, 22:17

akamanston

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ich gehe mal davon aus, dass du dich auf den ersten teil der aufgabe beziehst.

also es gilt $\begin{eqnarray*} e^{z}=e^{x}e^{iy} \end{eqnarray*}$

und wie soll ich das auf

$\begin{eqnarray*} z^{3} -1=(z-1)(z^{2} +z+1) \end{eqnarray*}$

anwenden?

08.11.2014, 22:22

derM.

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Schau dir diese Videos an:

http://www.youtube.com/watch?v=HiZbrnaUkHE

http://www.youtube.com/watch?v=NGuaKNTqo5s

08.11.2014, 22:26

HAL 9000

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RE: komplexe aufgaben

Zitat:

Original von akamanston
$\begin{eqnarray*} z^{5} -1=(z-1)(z^{4} +z^{3}+z^{2}+z+1) \end{eqnarray*}$ und nun?

Es ist

$\begin{align*} z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = \left( z^2 + \frac{1}{2}z + 1 \right)^2 - \frac{5}{4}z^2 = \left( z^2 + \frac{1+\sqrt{5}}{2}z + 1 \right)\cdot \left( z^2 + \frac{1-\sqrt{5}}{2}z + 1 \right) \end{align*}$ ,

bei der letzten Gleichheit kam die dritte binomische Formel zum Einsatz.

Zitat:

Original von akamanston
was ist das besondere am 7-eck und am 65537-eck?

65537 ist Fermatsche Primzahl, die 7 hingegen nicht: http://de.wikipedia.org/wiki/Konstruierbares_Polygon

09.11.2014, 00:29

akamanston

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RE: komplexe aufgaben

Zitat:

Original von HAL 9000

$\begin{align*} z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = \left( z^2 + \frac{1}{2}z + 1 \right)^2 - \frac{5}{4}z^2 = \left( z^2 + \frac{1+\sqrt{5}}{2}z + 1 \right)\cdot \left( z^2 + \frac{1-\sqrt{5}}{2}z + 1 \right) \end{align*}$

ja der zusammenhang ist mir auch klar, zumindest war er gegeben.
aber was soll ich nu machen? die nullstellen der produkte ausrechnen? einfach pq formel anwenden? ich bin davon überzeugt, dass ich schöne zahlen erhalte, wie 1,-1,i, -i.
jedenfalls habe ich zumindest z=1 und 4 sehr unlustige nullstellen heraus.

zB $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}(\sqrt{5}-1 )\pm \frac{1}{4}\sqrt{(1+\sqrt{5} )-16} \end{eqnarray*}$

wie komme ich nun auf die +-1er

willst du @hal auf die normale pq formel hinaus, so wie ich es gemacht habe?

@stefan und @derm.
ich habe keinen wert für z. deshalb geht das mit den polarkoordianen wohl nicht, oder?

09.11.2014, 08:49

HAL 9000

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RE: komplexe aufgaben

Zitat:

Original von akamanston
ja der zusammenhang ist mir auch klar, zumindest war er gegeben.

Und warum hast du das nicht gesagt bzw. ihn nicht gleich genutzt? Solche besch...en altklugen Aussagen wie die jetzt von dir mag ich überaus. Forum Kloppe

Zitat:

Original von akamanston
ich bin davon überzeugt, dass ich schöne zahlen erhalte, wie 1,-1,i, -i.

Woher kommt diese Überzeugung? Wenn ich mir so ein regelmäßiges Fünfeck in der komplexen Zahlenebene vorstelle, käme mir nicht im Traum die Idee, dass man so "schöne" Eckpunkte erzielt.

Und ja, die normale pq-Formel kannst du anwenden.

Zitat:

Original von akamanston
wie komme ich nun auf die +-1er

Was soll das nun wieder heißen? Lösung $\begin{align*} z=1 \end{align*}$ kommt aus dem hier gar nicht diskutieren, abgetrennten Linearfaktor $\begin{align*} (z-1) \end{align*}$ , und $\begin{align*} z=-1 \end{align*}$ ist keine Lösung von $\begin{align*} z^5=1 \end{align*}$ .

09.11.2014, 13:17

akamanston

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RE: komplexe aufgaben
guten morgen.
wenn ich die polarkoordinatenform hernehme, dann mit e^(i*pi*x*k) oder so, dann kommen doch die 1er raus. darauf wollte ich hinaus.
aber ich glabue soweit sind wir noch nicht. deshalb ist das mit der pqformel ein ungeschickt richtiger weg.

Zitat:

Original von HAL 9000Und warum hast du das nicht gesagt bzw. ihn nicht gleich genutzt? Solche besch...en altklugen Aussagen wie die jetzt von dir mag ich überaus. Forum Kloppe

ja sorry, locker bleiben, hätte nicht gedacht, dass ich die letzte form brauchen könnte, weil ich davon überzeugt war, keine pq formel anzuwenden.

danke dennoch=)
ps lass dich nicht von mir ärgern Big Laugh

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