Grenzwert / Konvergenz beweisen

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Steffi363 Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert / Konvergenz beweisen
Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgenden Term:

(5x + 6) / (5x² + 3x + 4)



Meine Ideen:
Der Nenner hat größere Potenzen als der Zähler, also weiß ich, dass der Term gegen unendlich geht für x -> unendlich.

Das Ganze muss ich aber auch beweisen. Ich habe es schon über die Definition von Konvergenz versucht bzw. mit Epsilon. Also ich habe x durch N ersetzt und aus der Definition geschlossen: Der entstandene Term (N statt x) < epsilon

Nach N auflösen habe ich aber nicht geschafft.
Hoffe ihr habt ideen smile
Danke
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RE: Grenzwert / Konvergenz beweisen
Zitat:
Original von Steffi363
Der Nenner hat größere Potenzen als der Zähler, also weiß ich, dass der Term gegen unendlich geht für x -> unendlich.

Äh, nein.
Standardvorgehen ist hier, die höchste vorkommende Potenz der Variable zu kürzen.
Steffi363 Auf diesen Beitrag antworten »

Da kann man nichts mehr kürzen. Klar ich könnte oben und unten ein x ausklammern, dafür stünde es aber ja wieder im Bruch von 6 und von 4.
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Kürzen kann man immer Big Laugh
Du könntest - und solltest sogar - die höchste vorkommende Potenz von x kürzen.
Zitat:
dafür stünde es aber ja wieder im Bruch von 6 und von 4.
und das ist genau der Sinn der Sache.
Was ist denn ?
Steffi363 Auf diesen Beitrag antworten »

Achsooo Big Laugh

Ich glaube ich habs gecheckt.

Also kommt ja raus:



Und hier kann ich dann schon sagen, dass 6/x gegen 0 geht und 4/x ebenso.
Und weil der Zähler gleich bleibt während der Nenner immer größer wird, geht der ganze Term auch gegen 0 ?
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Warum du dich partout sträubst, die höchste Potenz zu kürzen, wird dein Geheimnis bleiben.
Zitat:
weil der Zähler gleich bleibt
was auch immer das nun wieder bedeuten soll.
Der Grenzwert 0 stimmt allerdings.
 
 
Steffi363 Auf diesen Beitrag antworten »

Also aus meinem letzten Ergebnis nochmal ein x rausziehen ?
derM. Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn das eine Folge sein sollte, dann kannst einfach Nenner und Zähler durch den größten Potenz dividieren

ich hatte sowas ähnliches und es war eine Reihe, sowas kannst dann einfach mit dem Minoratenkriterium beweisen

http://www.youtube.com/watch?v=KdDImyDDxc4
Steffi363 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das soll eine Folge sein.

code:
1:
 durch den größten Potenz dividieren


Die größte war ja anfangs die 2. Dadurch dividieren ? Du meintest sicherlich x² im Nenner und Zähler ausklammern und anschließend kürzen, oder ?
derM. Auf diesen Beitrag antworten »

ja

http://www.youtube.com/watch?v=dzKlcJJyUgk
Steffi363 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar. Dann sieht mein Term ja so aus:




Der Beweis aus deinem Video lässt sich hier trotzdem nicht anwenden (der mit Epsilon). Also wie kann ich jetzt noch den Grenzwert 0 beweisen ?

Danke smile
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Jetzt siehst du den Nutzen, wenn man die höchste Potenz kürzt: Zähler und Nenner konvergieren.
Der Nenner konvergiert hier gegen einen von Null verschiedenen Wert, also kannst du dich einfach auf die Rechenregeln für Grenzwerte stützen und hast sauber den Grenzwert 0 gezeigt.
Steffi363 Auf diesen Beitrag antworten »

Also kann ich jetzt einfach behaupten: Der Zähler konvergiert gegen Null, also ist egal was im Zähler steht, denn 0 / x ist immer 0. Also konvergiert der ganze Term gegen Null.

Und das genügt dann bereits als Beweis ?
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Zitat:
Original von Steffi363
Der Zähler konvergiert gegen Null, also ist egal was im Zähler steht,

verwirrt soll anstelle des zweiten "Zähler" ein "Nenner" stehen?

Zitat:
denn 0 / x ist immer 0. Also konvergiert der ganze Term gegen Null.

Du musst zumindest erwähnen, dass der Nenner nicht gegen Null konvergiert, sonst hättest du in deiner Schreibweise 0/0
Steffi363 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, da habe ich mich verschrieben.

Ja, okay das ist klar.

Das was mich bei der Sache noch stört ist, dass ich einfach behaupte: y/x im Zähler für x gegen Unendlich geht gegen 0.

Man könnte ja jetzt einzeln für beide Summanden im Zähler den Epsilon-Beweis aus dem Video erbringen, oder ist das nicht nötig ?
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Es würde mich wundern, wenn ihr in der Vorlesung nicht gezeigt habt. Aber falls nötig, kann man das sehr gut mit dem üblichen Epsilon-Delta-Beweis zeigen.
Steffi363 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay hab's gefunden Big Laugh

Vielen Dank hast mir sehr geholfen. Jetzt noch eine kleine Frage, für die ein eigener Thread zu viel wäre: Wenn ich jetzt eine Aufgabe habe, bei der ersichtlich ist, dass es keinen Grenzwert gibt, also eine Folge, die gegen unendlich geht, muss man das auch beweisen, oder nur bei Folgen mit Grenzwert ? Und wenn ja, wie ?
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Zitat:
eine Aufgabe habe, bei der ersichtlich ist, dass es keinen Grenzwert gibt

darauf reagieren Korrektoren gerne mal mit Null Punkten Big Laugh
Im Ernst: Es kommt darauf an, was ihr in der Vorlesung gemacht habt und folglich benutzen könnt. Das ist keine andere Situation als bei dem oben genannten Grenzwert von 1/x.
Ansonsten kommt's auf das konkrete Beispiel an.
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