Kosinus Summe

09.11.2014, 10:13

Causa

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Kosinus Summe

Hallo,

Ich soll zeigen das:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}\cos(kx)=\frac{\sin\frac{nx}{2}\cos\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}} \end{eqnarray*}$ gilt.

Ich habe schon etwas rum gerechnet und bin darauf gekommen das wir den Kosinus umschreiben können mit $\begin{eqnarray*} \cos x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2} \end{eqnarray*}$
Dann habe ich die geometrische Reihe darauf angewendet und lande dann bei dem Ausdruck:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\left[Re\sum_{k=0}^{n-1}e^{ikx}+\frac{1}{e^{ix}}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{e^{ikx}}\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}\left[Re~e^{ix}\frac{1-(e^{ixn})}{1-e^{ix}}+\frac{1}{e^{ix}}\cdot\frac{1-e^{-inx}}{1-e^{-ix}}\right] \end{eqnarray*}$

Ja, nun werde ich ja quasi von Ausdrücken erschlagen und jeder weitere Schritt könnte mein letzter sein (Also um die Lösung zu erhalten) Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie soll ich nun am geschicktesten weiter machen um anschließend wieder von der Exponentialfunktion den Sinus und Kosinus erhalte?

Danke!

09.11.2014, 10:20

Egal

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Ohne das jetzt selbst durchgeführt zu haben, aber hast du es mal mit vollständiger Induktion probiert?

09.11.2014, 10:25

Causa

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Hallo Egal,

ich wollte es gerne auf dem Weg einmal probieren bevor der Notnagel Induktion herhalten muss. smile

smile

09.11.2014, 12:34

HAL 9000

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Erweitere (also Zähler und Nenner) im ersten Bruch mit $\begin{align*} e^{-\frac{ix}{2}} \end{align*}$ , dann steht dort

$\begin{align*} \frac{e^{\frac{ix}{2}}-e^{ix\left(n+\frac{1}{2}\right)}}{e^{-\frac{ix}{2}}-e^{\frac{ix}{2}}} \end{align*}$

Im Nenner steht dann $\begin{align*} e^{-\frac{ix}{2}}-e^{\frac{ix}{2}} = -2\sinh\left( \frac{ix}{2} \right) = -2i\sin\left( \frac{x}{2} \right) \end{align*}$ .

Ähnlich geht man im zweiten Bruch vor, nur dort mit Erweiterungsfaktor $\begin{align*} e^{\frac{ix}{2}} \end{align*}$ .

EDIT: Das "Re" kannst du übrigens weglassen: So wie du vorgegangen bist, ist es nicht nötig.

09.11.2014, 13:38

Causa

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Hallo HAL9000,

ich habe es jetzt einmal per Hand weiter gerechnet. Kann es sein das bei dem ersten Bruch im Zähler ein Minus stehen muss also bei:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{ix/2}-e^{ix(n-1/2)}}{e^{ix/2}-e^{-ix/2}} \end{eqnarray*}$ ?

Ich komme dann auch auf $\begin{eqnarray*} 2i\sin(x/2) \end{eqnarray*}$ für den Nenner oder wo kommt das Minus her?

Bei dem zweiten Bruch erhalte ich dann

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{ix/2}-e^{ix(1/2-n)}}{e^{ix/2}-e^{-ix/2}} \end{eqnarray*}$

und die Nenner sind ja gleich also erhalte ich dann auch hier $\begin{eqnarray*} 2i\sin(x/2) \end{eqnarray*}$

Insgesamt habe ich dann stehen:

$\begin{eqnarray*} =e^{ix}\cdot\frac{e^{ix/2}-e^{ix(n-1/2)}}{2i\sin(x/2)}+\frac{1}{e^{ix}}\cdot\frac{e^{ix/2}-e^{ix(1/2-n)}}{2i\sin(x/2)} \end{eqnarray*}$

Stimmt es soweit? Bzw. muss ich die Minuszeichen an den besagten Stellen hinzufügen?
Wie geht es nun weiter?

09.11.2014, 13:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von Causa
Kann es sein das bei dem ersten Bruch im Zähler ein Minus stehen muss also bei:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{ix/2}-e^{ix(n-1/2)}}{e^{ix/2}-e^{-ix/2}} \end{eqnarray*}$ ?

Anscheinend hast du den Faktor $\begin{align*} e^{ix} \end{align*}$ vor diesem ersten Bruch vergessen, der ist natürlich mit einzubeziehen!!! Zumindest habe ich das getan - du anscheinend nicht, aber in dem Fall ist nun wieder der erste Summand im Zähler des ersten Bruches bei dir falsch, der muss dann $\begin{align*} e^{-\frac{ix}{2}} \end{align*}$ statt wie jetzt bei dir steht $\begin{align*} e^{\frac{ix}{2}} \end{align*}$ .

Ich habe sozusagen diese Multiplikation gleich in einem Aufwasch mit erledigt, die dir (nach Korrektur deines Fehlers) noch bevorsteht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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09.11.2014, 14:09

Causa

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Ja, jetzt sehe ich es auch. Ich erhalte dann:
$\begin{eqnarray*} \frac{e^{ix/2}-e^{ix(n+1/2)}}{2\sinh(ix/2)}+\frac{e^{ix/2}-e^{ix(1/2-n)}}{2e^{ix}\sinh (ix/2)} \end{eqnarray*}$

Passt das mit dem Vorzeichen im Nenner? Diese algebraischen Umformungen brechen mir noch das Genick.
Da gilt: $\begin{eqnarray*} \sinh(ix/2)=2i\sin(x/2) \end{eqnarray*}$

erhalte ich dann:
$\begin{eqnarray*} =\frac{e^{ix/2}-e^{ix(n+1/2)}}{2i\sin(x/2)}+\frac{e^{ix/2}-e^{ix(1/2-n)}}{2e^{ix}i\sin (i/2)} \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste es richtig sein? smile

smile

Gibt's jetzt noch weitere Tricks die man nach langen meditieren anwenden kann?

09.11.2014, 14:17

HAL 9000

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Na auch im zweiten Bruch würde ich das $\begin{align*} \frac{1}{e^{ix}} = e^{-ix} \end{align*}$ mit im Zähler "verarbeiten", und dann alles auf einen gemeinsamen Bruchstrich.

P.S.: Du rechnest mit $\begin{align*} \cos(t) = \frac{e^{it}-e^{-it}}{2} \end{align*}$ , ist Ok. Genauso hättest du auch von vornherein mit

$\begin{align*} \cos(t) = \operatorname{Re}\left( e^{it} \right) \end{align*}$

operieren können, wäre insgesamt wahrscheinlich etwas weniger Schreibaufwand gewesen. Aber Ok, nun sind wir ja fast "durch". Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.11.2014, 14:35

Causa

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Ich lande nun bei:

$\begin{eqnarray*} =\frac{e^{ix/2}-e^{ixn+ix/2}+e^{-ix/2}-e^{ix/2-ixn-ix}}{2i\sin(x/2)} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} e^{ix/2}+e^{-ix/2} \end{eqnarray*}$ erhalte ich $\begin{eqnarray*} 2\cos(x/2) \end{eqnarray*}$

Also erhalte ich jetzt:

$\begin{eqnarray*} =\frac{2\cos(x/2)+e^{ixn}-e^{ix/2-ixn-ix}}{2i\sin(x/2)} \end{eqnarray*}$

Ja, nun steh ich wieder hier und weiß nicht weiter. Vielleicht irgendwas ausklammern?

09.11.2014, 14:40

Causa

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Pardon, ich habe im Exponenten etwas vergessen:

$\begin{eqnarray*} =\frac{2\cos(x/2)+e^{ixn+ix/2}-e^{ix/2-ixn-ix}}{2i\sin(x/2)} \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste es richtig sein.

09.11.2014, 15:30

HAL 9000

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Es besteht ein Vorzeichenfehler vor dem gesamten ersten Bruch. Einer, der nicht hätte sein müssen beim aufmerksamen Lesen des Threads:

Zitat:

Original von HAL 9000
Im Nenner steht dann $\begin{align*} e^{-\frac{ix}{2}}-e^{\frac{ix}{2}} = {\color{red}-}2\sinh\left( \frac{ix}{2} \right) = {\color{red}-}2i\sin\left( \frac{x}{2} \right) \end{align*}$ .

09.11.2014, 15:55

Causa

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Dann habe ich:

$\begin{eqnarray*} =\frac{e^{-ix/2}-e^{ix/2}+e^{ixn+ix/2}-e^{ix/2-ixn-ix}}{2i\sin(x/2)} \end{eqnarray*}$

Wie geht es weiter?

09.11.2014, 15:58

HAL 9000

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Beide Differenzen im Zähler lassen sich wieder in sinh- bzw. sin-Ausdrücke umwandeln.

09.11.2014, 16:05

Causa

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Den ersten bekomme ich hin.

$\begin{eqnarray*} e^{-ix/2}-e^{ix/2}=-2i\sin(x/2) \end{eqnarray*}$

Bei $\begin{eqnarray*} e^{ixn+ix/2}-e^{ix/2-ixn-ix} \end{eqnarray*}$ ist doch im zweiten Exponenten ein Ausdruck zu viel?

09.11.2014, 16:08

HAL 9000

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Da ist nix zuviel - fass mal ordentlich zusammen! Im übrigen darfst du auch gern mehr als einen Schritt ohne diese ständigen Nachfragen machen.

09.11.2014, 16:27

Causa

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Pardon, ich wusste nicht das es dich aufregt. Ich erhalte nun:

$\begin{eqnarray*} =\frac{\sin(xn+x/2)-\sin(x/2)}{\sin(x/2)} \end{eqnarray*}$ Das sieht ja schonmal freundlicher aus.

Ich habe jetzt probiert mit $\begin{eqnarray*} \sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a) \end{eqnarray*}$ weiter zu machen. Ich komme dann allerdings auf:

$\begin{eqnarray*} =\frac{\sin(xn)\cos(x/2)}{\sin(x/2)}+\cos(xn)-1 \end{eqnarray*}$ Das scheint mich also auch nicht weiter zu bringen.

09.11.2014, 16:33

HAL 9000

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Versuch es mal lieber mit $\begin{align*} a=\frac{xn}{2} + \frac{x}{2} \end{align*}$ und $\begin{align*} b=\frac{xn}{2} \end{align*}$ bzw. (ein zweites Mal) mit demselben $\begin{align*} a \end{align*}$ und $\begin{align*} b=-\frac{xn}{2} \end{align*}$ .

09.11.2014, 16:47

Causa

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Wie kommst du darauf? Ich habe doch den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{\sin(xn+\frac{x}{2})-\sin(\frac{x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})} \end{eqnarray*}$

Dann müsste doch $\begin{eqnarray*} \sin(xn+\frac{x}{2})=\sin(xn)\cdot\cos(\frac{x}{2})+\sin(\frac{x}{2})\cos(xn) \end{eqnarray*}$ sein?

09.11.2014, 17:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von HAL 9000
Versuch es mal lieber mit $\begin{align*} a={\color{red}\frac{xn}{2} + \frac{x}{2}} \end{align*}$ und $\begin{align*} b={\color{blue}\frac{xn}{2}} \end{align*}$ bzw. (ein zweites Mal) mit demselben $\begin{align*} a \end{align*}$ und $\begin{align*} b=-\frac{xn}{2} \end{align*}$ .

Ich wiederhole das jetzt solange, bis du wirklich drüber nachdenkst - bzw. es einfach nur versuchst, statt irrelevante Kommentare wie den eben abzulassen. Forum Kloppe

Forum Kloppe

Ich gehe davon aus, dass immer noch

Zitat:

Original von Causa
Ich soll zeigen das:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}\cos(kx)=\frac{\sin{\color{blue}\frac{nx}{2}}\cos{\color{red}\frac{(n+1)x}{2}}}{\sin\frac{x}{2}} \end{eqnarray*}$ gilt.

das Ziel ist? Na also.

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