Konvergenz einer rekursiv definierten Folge

09.11.2014, 11:29	nureinnick	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer rekursiv definierten Folge Hallo, die Aufgabe bereitet mir auch noch Kopfzerbrechen, habe lange daran rumgerechnet, dachte immer wieder, gleich hab ichs, und dann, naja... merkte ich, dass es morgens war und ich immer noch keine Ahnung habe Also, definiert ist die Folge folgendermaßen: $\begin{eqnarray} a_1=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_2=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_j=\frac {1}{2} (a_{j-1}+a_{j-2}) \end{eqnarray}$ Hiervon soll die Konvergenz bewiesen werden und der Grenzwert bestimmt werden. Meine Idee war, die ersten a_j zu bilden und durchs Einsetzverfahren so umzuformen, dass ich die Summe der a_2 und a_1 habe, die a_1er konnte ich rausstreichen, weil die ja null sind, die a_2er ergaben dann diese Struktur: $\begin{eqnarray} a_j= \frac {1}{2^{j-2}}+ \sum_{i=0}^{j-3} \frac {1}{2^i}\|_{i ungerade} \end{eqnarray}$ für gerade j und für ungerade j dasselbe, aber mit j-4 als obere Grenze... Nun wollte ich die Summe ausschreiben als das was sie ist, sprich $\begin{eqnarray} \frac {1}{2}+\frac {1}{8}+\frac {1}{32}+...+\frac {1}{2^{j-3}} \end{eqnarray}$ Das lässt sich nur auf einen Nenner bringen, wenn man im Zähler rechnet: $\begin{eqnarray} ((((i \cdot 4+1) \cdot 4+1) \cdot 4+1) \cdot 4+1)... \end{eqnarray}$ Und das (j-4)/2-mal... Jetzt meine Frage: Wie kann ich das in einen brauchbaren Term umschreiben? Ist der Rechenweg überhaupt erfolgsversprechend (ich möchte auf irgendetwas limestaugliches kommen, denn ich mag den Limes ^^)?
09.11.2014, 11:32	Kreis	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer rekursiv definierten Folge Schau mal hier nach Vollständige Induktion rekursive Folge
09.11.2014, 12:44	nureinnick	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, so ists natürlich a bissl einfacher (nur auf die Behauptung muss man erstmal kommen ^^)
09.11.2014, 14:54	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Möglichkeit, wie man das ohne den Einfall angehen kann (bzw. mit einem etwas kleineren Einfall) Es gilt $\begin{eqnarray} a_{j+1}-a_j = \frac 12 a_j + \frac 12 a_{j-1} - a_j = -\frac 12 (a_j-a_{j-1}) \end{eqnarray}$ . Wenn man das hat, sieht man mit etwas Übung (oder vielleicht etwas längerem draufschauen), dass daraus per Induktion (oder Teleskopprodukt (nennt man das so?)) $\begin{eqnarray} a_{j+1}-a_j = \left(-\frac 12\right)^j (a_1-a_0) \end{eqnarray}$ gefolgert werden kann. Jetzt kann man aber $\begin{eqnarray} a_j \end{eqnarray}$ mit Hilfe einer Teleskopsumme explizit bestimmen.
09.11.2014, 15:01	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann es auch stoisch mit dem allgemeinen Lösungsverfahren für lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten angehen: Die charakteristische Gleichung $\begin{align} \lambda^2 - \frac{1}{2}\lambda - \frac{1}{2} = 0 \end{align}$ besitzt die beiden Lösungen $\begin{align} \lambda_1 = 1 \end{align}$ und $\begin{align} \lambda_2 = -\frac{1}{2} \end{align}$ , was zur allgemeinen Lösungsdarstellung $\begin{align} a_n = C_1\lambda_1^n + C_2\lambda_2^n = C_1 + C_2\left( -\frac{1}{2} \right)^n \end{align}$ führt. Die Konstanten $\begin{align} C_1,C_2 \end{align}$ ermittelt man dann aus den gegebenen Anfangswerten $\begin{align} a_1,a_2 \end{align}$ .

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