Normalteiler

09.11.2014, 13:29	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalteiler Sei X eine Menge, $\begin{eqnarray} Y\subseteq X, (G,\circ) \end{eqnarray}$ eine Gruppe und $\begin{eqnarray} G^X :=\{f\| f: X\to G\} \end{eqnarray}$ die Menge der G-wertigen Abbildungen auf X. Für $\begin{eqnarray} f_1; f_2 : X \to G \end{eqnarray}$ erklärt $\begin{eqnarray} (f_1\bullet f_2)(x) := f_1(x)\circ f_2(x) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in X \end{eqnarray}$ eine Gruppenstruktur auf $\begin{eqnarray} G^X \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} N := \{f\| \forall y \in Y: f(y) = e_G \} \end{eqnarray}$ ein Normalteiler in $\begin{eqnarray} G^X \end{eqnarray}$ ist. Finden Sie des Weiteren eine Gruppe, die nicht als Faktorgruppe daher kommt, zu der $\begin{eqnarray} G^X/ N \end{eqnarray}$ isomorph ist. Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G. Dann gilt: U ist eine normale Untergruppe von G genau dann, wenn es eine Gruppe H und einen Homomorphismus $\begin{eqnarray} \phi : G \to H \end{eqnarray}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray} U =Ker(\phi) \end{eqnarray}$ . Sehe ich das korrekt das ich einen Homomorphismus von $\begin{eqnarray} \phi: G^X \to G^Y \end{eqnarray}$ finden muss damit ich den Satz anwenden kann.
09.11.2014, 17:22	Jack Prince	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Shiby, zeige, dass $\begin{eqnarray} N \triangleleft G^X \end{eqnarray}$ entweder explizit oder mithilfe des Homomorphismus $\begin{eqnarray} \varphi \colon G^X \longrightarrow H \end{eqnarray}$ dessen Kern gerade $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ ist. Damit hättest du auch $\begin{eqnarray} N \triangleleft G^X \end{eqnarray}$ gezeigt. Für $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ klingt $\begin{eqnarray} G^Y \end{eqnarray}$ ganz gut. Wie könnte dann $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ aussehen, damit $\begin{eqnarray} G^X/N \cong G^Y \end{eqnarray}$ gilt? LG
10.11.2014, 18:05	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du mir noch einen weiteren Tipp zum Homomorphismus $\begin{eqnarray} \phi: G^X \to G^Y \end{eqnarray}$ geben. Wenn ich den gefunden habe kann ich den zweiten Aufgabenteil doch durch den Homomophiesatz lösen. Ist $\begin{eqnarray} \phi: G \to H \end{eqnarray}$ ein Gruppenhomomorphismus, so gilt $\begin{eqnarray} G/Ker(\phi) \cong \phi (G) \end{eqnarray}$ . Genauer gesagt induziert die Abbildung $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ einen Isomorphismus $\begin{eqnarray} \phi' :G/Ker(\phi) \to \phi(G) \end{eqnarray}$ .
10.11.2014, 19:02	Jack Prince	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Shiby, es gilt $\begin{eqnarray} G^X=\{f \colon X \longrightarrow G\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} G^Y=\{f \colon Y \longrightarrow G\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} Y \subseteq X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} N=\{f \in G^X \mid \forall \, y \in Y :f(y)=1\} \end{eqnarray}$ . Wie könnte man denn durch eine Abbildung einen Zusammenhang (oder Korrespondenz) zwischen $\begin{eqnarray} G^X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} G^Y \end{eqnarray}$ herstellen. Wie könnte man von einer Abbildung $\begin{eqnarray} f \colon X \longrightarrow G \end{eqnarray}$ zu einer Abbildung $\begin{eqnarray} g \colon Y \longrightarrow G \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} Y \subseteq X \end{eqnarray}$ ? LG
10.11.2014, 19:59	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist nicht die Identität oder? Dies ist nur möglich falls Y=X gilt, sehe ich das richtig
11.11.2014, 07:47	Jack Prince	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne, die Identität kann es ja auch nur zwischen ein und der selben Menge geben. Hier haben wir $\begin{eqnarray} G^X \end{eqnarray}$ G^Y [/latex]. Probier doch mal $\begin{eqnarray} \varphi \colon G^X \longrightarrow G^Y \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \varphi(f):=f_{\mid Y} \end{eqnarray}$ . Untersuch das mal auf Homomorphie und überleg dir, wie der Kern und das Bild aussieht. LG
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12.11.2014, 21:43	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Für Kern und Bild gilt: $\begin{eqnarray} Ker(\varphi) = Im(\varphi) = N \end{eqnarray}$ Bei der Homomorphie bin ich mir unsicher. Wähle $\begin{eqnarray} f_1,f_2 \in G^X \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varphi((f_1 \bullet f_2)(x)) = \varphi(f_1(x)) \circ \varphi(f_2(x)) \end{eqnarray}$ Muss ich das zeigen?
13.11.2014, 19:21	Jack Prince	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja $\begin{eqnarray} Ker(\varphi) =Im(\varphi) \end{eqnarray}$ kann ja nicht stimmen, da $\begin{eqnarray} G^Y \end{eqnarray}$ streng genommen keine Teilmenge von $\begin{eqnarray} G^X \end{eqnarray}$ sein kann. Dennoch stimmt $\begin{eqnarray} Ker( \varphi)=N \end{eqnarray}$ . Überprüf mal, ob $\begin{eqnarray} Im(\varphi)=G^Y \end{eqnarray}$ ! Für die Homomorphie musst du zeigen: $\begin{eqnarray} \varphi(f_1 \bullet f_2)(y)=\varphi(f_1)(y)\varphi(f_2)(y) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} y \in Y \end{eqnarray}$ . LG

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