Normalteiler

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Shiby Auf diesen Beitrag antworten »
Normalteiler
Sei X eine Menge, eine Gruppe und die Menge der G-wertigen Abbildungen auf X.
Für erklärt
für alle eine Gruppenstruktur auf.
Zeigen Sie, dass ein Normalteiler in
ist. Finden Sie des Weiteren eine Gruppe, die nicht als Faktorgruppe daher
kommt, zu der isomorph ist.

Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G. Dann gilt:
U ist eine normale Untergruppe von G genau dann, wenn es eine Gruppe H
und einen Homomorphismus gibt, so dass .

Sehe ich das korrekt das ich einen Homomorphismus von
finden muss damit ich den Satz anwenden kann.
Jack Prince Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Shiby,
zeige, dass entweder explizit oder mithilfe des Homomorphismus dessen Kern gerade ist. Damit hättest du auch gezeigt. Für klingt ganz gut. Wie könnte dann aussehen, damit



gilt?

LG
 
 
Shiby Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir noch einen weiteren Tipp zum Homomorphismus geben.

Wenn ich den gefunden habe kann ich den zweiten Aufgabenteil doch durch den Homomophiesatz lösen.

Ist ein Gruppenhomomorphismus, so gilt . Genauer gesagt induziert die Abbildung einen Isomorphismus
.
Jack Prince Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Shiby,
es gilt

und mit und

.

Wie könnte man denn durch eine Abbildung einen Zusammenhang (oder Korrespondenz) zwischen und herstellen. Wie könnte man von einer Abbildung zu einer Abbildung , wobei ?

LG
Shiby Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist nicht die Identität oder?
Dies ist nur möglich falls Y=X gilt, sehe ich das richtig
Jack Prince Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, die Identität kann es ja auch nur zwischen ein und der selben Menge geben. Hier haben wir G^Y [/latex]. Probier doch mal mit

.

Untersuch das mal auf Homomorphie und überleg dir, wie der Kern und das Bild aussieht.

LG
Shiby Auf diesen Beitrag antworten »

Für Kern und Bild gilt:



Bei der Homomorphie bin ich mir unsicher.

Wähle



Muss ich das zeigen?
Jack Prince Auf diesen Beitrag antworten »

Naja kann ja nicht stimmen, da streng genommen keine Teilmenge von sein kann. Dennoch stimmt . Überprüf mal, ob !

Für die Homomorphie musst du zeigen:

für alle .

LG
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