Bedingte Erwartung - Problem bei einer Umformung

09.11.2014, 18:05

ChronoTrigger

Bedingte Erwartung - Problem bei einer Umformung

Hallo,

ich beschäftige mich momentan mit dem Beweis im Zusammenhang mit bedingten Erwartungen und habe dabei ein kleines Verständnisproblem.

Zuerst wird ein linearer Prozess $\begin{eqnarray*} X_t = \sum_{i=0}^\infty a_i \epsilon_{t-i} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ betrachtet, wobei $\begin{eqnarray*} a_0:=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \epsilon_t \stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim} (0,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \in (0,\infty) \end{eqnarray*}$ ist.
Über die genaue Verteilung der $\begin{eqnarray*} \epsilon_t \end{eqnarray*}$ ist außer den ersten beiden Momenten nichts bekannt.

Außerdem definiert man sich noch $\begin{eqnarray*} R_{t+1} := X_{t+1} - \epsilon_{t+1} = \sum_{i=1}^\infty a_i \epsilon_{t+1-i} \end{eqnarray*}$ und eine Sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} F_t \end{eqnarray*}$ , die von dem stochastischen Prozess $\begin{eqnarray*} \{ \epsilon_t \} \end{eqnarray*}$ bis zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ erzeugt wird, also $\begin{eqnarray*} F_t = \sigma(\epsilon_s \, : \, s \leq t). \end{eqnarray*}$

Nun werden i.i.d. Kopien $\begin{eqnarray*} \{ \epsilon_t' \} \end{eqnarray*}$ von dem Prozess $\begin{eqnarray*} \{\epsilon_t \} \end{eqnarray*}$ betrachtet. Soweit ich weiß bedeutet dies, dass $\begin{eqnarray*} \epsilon_t \stackrel{d}{=} \epsilon_t' \end{eqnarray*}$ ist.

Mit diesem kopierten Prozess wird dann der Prozess
$\begin{eqnarray*} \tilde{R}_{t+1} := R_{t+1} - a_t \epsilon_1 + a_t \epsilon_1' = \sum_{\substack{i=1\\i \neq t}}^\infty a_i \epsilon_{t+1-i} + a_t \epsilon_1' \end{eqnarray*}$
definiert.

Außerdem bezeichnet man noch mit $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeitsdichte von $\begin{eqnarray*} \epsilon_t \end{eqnarray*}$ .

Die Aussage, bei der ich jetzt Probleme habe, lautet:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} E[f_1(x-R_{t+1})|F_1] - E[f_1(x-R_{t+1})|F_0] = E[f_1(x-R_{t+1}) - f_1(x-\tilde{R}_{t+1})|F_1] \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R. \end{eqnarray*}$

Mir ist bisher noch nicht klar, wie man darauf kommen kann. Damit das passt, muss ja
$\begin{eqnarray*} E[f_1(x-R_{t+1})|F_0] = E[f_1(x-\tilde{R}_{t+1})|F_1] \end{eqnarray*}$ gelten.

Hier kann ich jetzt noch die Definitionen von $\begin{eqnarray*} R_{t+1} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \tilde{R}_{t+1} \end{eqnarray*}$ einsetzen. Damit komm ich einmal auf

$\begin{eqnarray*} E[f_1(x-R_{t+1})|F_0] = E[f_1(x- \sum_{i=1}^\infty a_i \epsilon_{t+1-i})|F_0] \end{eqnarray*}$

und einmal auf

$\begin{eqnarray*} E[f_1(x-\tilde{R}_{t+1})|F_1] = E[f_1(x- \sum_{\substack{i=1\\i \neq t}}^\infty a_i \epsilon_{t+1-i} + a_t \epsilon_1')|F_1]. \end{eqnarray*}$

Nur sehe ich jetzt nicht, wie ich damit auf die gewünschte Aussage kommen kann. Hat vielleicht jemand eine Idee?

Vielen dank schonmal im voraus!

18.11.2014, 17:29

ChronoTrigger

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Ich bin bei diesem Problem leider immer noch nicht weitergekommen.

Im ersten post hatte ich vergessen zu erwähnen, dass die gesuchte Umformung für $\begin{eqnarray*} 1 \leq t \leq n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gelten soll.

Sieht vielleicht jemand, wie man auf die Umformung kommen kann?

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