Aus anderem Thread: Beweis für Stetigkeit

09.11.2014, 20:12

kleinerRacker

Aus anderem Thread: Beweis für Stetigkeit

Hallo, in einem anderen Thread wurde folgende Funktion diskutiert, über die ich auf einer Suche nach Beispielen zur Stetigkeit gestoßen bin:

$\begin{eqnarray*} F(x)= \begin{cases} ||x|-1| & |x| \geq 1 \\ \exp ( \frac {1}{x^2-1}) & |x|<1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Wieso gibt es bei x=-1 bzw x=1 keinen Sprung. Also die exponentialfunktion kann ja beliebig nahe an die Null dran, aber wenn ich das mit einem Ansatz mache, bei welchem ich von links und von rechts an die eins gehe, kommen zwei verschiedene Werte raus. Also wie kann ich formal beschreiben, dass die Funktion stetig ist?

Gruß

09.11.2014, 20:40

Guppi12

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Zitat:

aber wenn ich das mit einem Ansatz mache, bei welchem ich von links und von rechts an die eins gehe, kommen zwei verschiedene Werte raus.

Kannst du das etwas näher beschreiben? Du könntest zum Beispiel mit dem Folgenkriterium für Stetigkeit argumentieren. Nimm dir eine beliebige Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ und sieh dir an, was $\begin{eqnarray*} F(x_n) \end{eqnarray*}$ tut.

09.11.2014, 20:49

kleinerRacker

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also mein Ansatz war $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to1^{+}}||x|-1|=0\neq \lim_{x\to1^{-}}e^{\frac{1}{x^2-1}}=\infty \end{eqnarray*}$ .

Das mit der Folge verstehe ich noch nicht so ganz. Soll ich dann den Exponenten der Exponentialfunktion als Folge betrachten oder einfach eine Folge x_n mit dem Grenzwert 1 für x einsetzen?

09.11.2014, 20:52

Guppi12

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Warum gilt denn deiner Meinung nach $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to1^{-}}e^{\frac{1}{x^2-1}}=\infty \end{eqnarray*}$ ?

09.11.2014, 21:00

kleinerRacker

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Ich habe mir angeschaut was passiert, wenn ich mich mit dem x der 1 annähere. Zunächst geht es ja beliebig nahe in Richtung Null, explodiert dann aber für x=1.

Kann ich vielleicht 1-c wobei c ein unendlich kleiner Wert ist angeben und schreiben, dass dafür die Funktion gegen 0 geht?

09.11.2014, 21:04

Guppi12

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So etwas wie unendlich kleine Werte gibt es nicht (zumindest in der klassischen Analysis).

Ich würde das nicht als Begründung durchgehen lassen.

Was macht denn der Exponent der Exponentialfunktion, wenn sich $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ von links der $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ nähert ?

09.11.2014, 21:11

kleinerRacker

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Der Exponent geht immer stärker ins negative, also für x=0,9999999 ist der schon bei -5000. Also geht die Exponentialfunktion gegen 0, aber wie würde ich das sauber formulieren?

09.11.2014, 21:20

Guppi12

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Nunja, wir sind uns ja nun einig, dass es genügt, zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to1^-}\frac{1}{x^2-1} = -\infty \end{eqnarray*}$ , da daraus die gewünschte Aussage folgt, richtig?

Hier kann man nun entweder sagen: Ok, der Nenner geht gegen 0, also geht der Bruch betragsmäßig gegen unendlich. Mit welchem Vorzeichen er das tut, kann man daraus ablesen, von welcher Richtung wir uns 1 nähern, denn der Bruch ist für alle x mit -1<x<1 negativ.

Oder du machst es etwas formaler mit der Definition für uneigentliche Grenzwerte.
Was man machen sollte hängt immer etwas vom eigenen Kenntnisstand ab.

Wie entscheidest du dich?

09.11.2014, 21:23

kleinerRacker

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Von uneigentlichen Grenzwerten habe ich noch nichts gehört bisher, würde mich im allgemeinen aber auch interessieren.
Aber bei deiner ersten Aussage fällt es mir schon wie Schuppen von den Augen, wieso das gilt. Ich habe die ganze Zeit im Kopf eine 1 eingesetzt und nicht den Grenzwert betrachtet. Weil dann ja quasi $\begin{eqnarray*} e^{-\infty} \end{eqnarray*}$ steht.

09.11.2014, 21:30

Guppi12

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Falls du es noch mit uneigentlichen Grenzwerten machen willst:

Zu zeigen wäre folgendes:

$\begin{eqnarray*} \forall\epsilon >0~ \exists \delta > 0~ \forall x\in(1-\delta, 1):~ \frac{1}{x^2-1} < -\frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$

Der Erkenntnisgewinn erhöht sich aber dabei nicht wirklich.

09.11.2014, 21:32

kleinerRacker

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Vielen Dank smile

Dann werde ich mir auch mal was zu uneigentlichen Grenzwerten durchlesen.

09.11.2014, 22:26

Kreis

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Gehen wir dem Ding mal Richtig auf die Spur...
Guten Abend,

also ich verfolge das jetzt schon eine ganze Weile und ich möchte zugeben dass ich auch an der Aufgabe sitze aber das jetzt mal richtig machen möchte und zeigen möchte dass $\begin{eqnarray*} exp(\frac{1}{x^2-1}) \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall auf dem dieses "Ding" definiert ist (also sein Definitionsbereich) $\begin{eqnarray*} D:=(-1;1) \end{eqnarray*}$ stetig ist.

Dazu möchte ich nur das anwenden was in der Vorlesung mind. schon einmal vorkam, also in diesem Fall leider nur das klassische "Epsilon-Delta-Verfahren".

ACHTUNG: Die Exponentialfunktion als Potenzreihe haben wir noch nicht eingeführt! Das heißt, es darf nichts in die Richtun "Taylor" gehen! (Schade da ich mir diesen Beweis schonmal angelesen hatte ...)

Es gilt also zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 ; \exists \delta >0 : \forall x \in D = (-1,1); |x-x_0 | < \delta : |f(x)-f(x_0) |< \epsilon \end{eqnarray*}$

Beweis (was ich momentan habe) :

$\begin{eqnarray*} |e^{(\frac{1}{x^2-1})} - e^{(\frac{1}{(x_0)^2-1})}| < |e^{x^2}-e^{(x_0)^2}| \end{eqnarray*}$

weil $\begin{eqnarray*} \forall x \in (-1;1) : x^2-1<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0<x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |e^{x^2}-e^{(x_0)^2}| = |e^{(x_0)^2} \cdot (e^{x^2 - (x_0)^2}- 1)| = |e^{(x_0)^2}| \cdot |e^{x^2 - (x_0)^2}- 1| < \epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow |e^{x^2 - (x_0)^2}- 1| < \frac{\epsilon}{|e^{(x_0)^2}|} \end{eqnarray*}$

Ich muss ja irgendiwe auf den Ausdruck $\begin{eqnarray*} |x-x_0| \end{eqnarray*}$ kommen, weiß vielleicht Jemand weiter?? Wink

09.11.2014, 22:52

Guppi12

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Guten Abend,

du möchtest also nichtmal verwenden, dass Verkettungen stetiger Funktionen stetig sind?
Nagut.

Um diese Aufgabe anzugehen, brauchst du eine Definition der Exponentialfunktion. Wenn ihr das nicht über die Potenzreihe gemacht habt, was ist dann eure Definition?

09.11.2014, 23:48

Kreis

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pffff... an eine Definition kann ich mich nicht erinnern... habe gerade meine Unterlagen dazu bemüht und die Exponentialfunktion scheint überhaupt noch garnicht vorgekommen zu sein...kommt aber offensichtlich jetzt vor... xD mm.--- was wäre denn z.B mit dieser Definition? $\begin{eqnarray*} \exp(x) := \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac xn \right)^n \end{eqnarray*}$ verwirrt

09.11.2014, 23:57

Guppi12

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Also wenn du diese Definition verwenden willst, habe ich gerade keine Idee, wie man da am besten Stetigkeit zeigt.

Ich würde nämlich ernsthaft, wenn du von der genannten Definition ausgehen willst, erstmal zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac xn \right)^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$ gilt und dann davon Stetigkeit zeigen, kein Scherz.

An der Uni wird die Exponentialfunktion übrigens für gewöhnlich über ihre Reihendarstellung definiert. Hat es einen speziellen Grund, warum du diese nicht verwenden willst?

10.11.2014, 00:03

Kreis

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Nicht wirklich. Ich dachte halt nur, dass man das was in der Vorlesung noch nicht tematisiert wurde besser nicht verwenden sollte. Und da wir Grenzwerte im Gegensatz zu Potenzreihendarstellungen schon "kennen", habe ich überlegt das man erstmal behaupten könne, dass die obrige Definition gilt. smile

Deinen Vorschlag können wir ja gerne folgen.

10.11.2014, 00:06

Guppi12

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Welchem Vorschlag denn? Eine andere Definition zu verwenden oder erstmal die Identität da zu zeigen?

Zitat:

Ich dachte halt nur, dass man das was in der Vorlesung noch nicht tematisiert wurde besser nicht verwenden sollte.

Das ist ja auch richtig, aber irgendwie muss man sie ja definieren Augenzwinkern

Dafür braucht man übrigens keine Kenntnisse speziell über Potenzreihen. Man muss nur wissen, was eine Reihe ist und wann sie konvergiert. Dann kann man ohne Probleme $\begin{eqnarray*} \exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ definieren. Oder hattet ihr Reihen allgemein auch noch nicht?

10.11.2014, 00:11

Kreis

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Wir hatten Reihen glaube ich als Folgen definiert. Stichwort.. Partialsummen.

10.11.2014, 00:16

Guppi12

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Ok, also ich sehe im Moment drei Möglichkeiten, die leider alle nicht so toll sind. Das liegt daran, dass ein Hantieren mit komplexen Funktionen, über die man noch keinerlei Wissen hat, ja nichtmal eine Definition, nicht ganz ohne ist.

1. Du verwendest die Reihendefinition der Exponentialfunktion. Dafür müsstest du bloß zeigen, dass die angegebene Reihe für alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ konvergiert. Das geht z.B. mit dem Quotientenkriterium. Danach könntest du dann den Beweis verwenden, der dir schon bekannst ist.

2. Du verwendest die andere von dir angegeben Definition. In diesem Fall fällt mir gerade nichts besseres ein, als dann die Gleichheit zu zeigen, die ich oben erwähnte. Die sieht man aber nicht mal einfach eben so. Ich glaube nicht, dass ich dich da schrittweise hinführen könnte, weil da schon ein ordentlich etwas hinter steckt.

3. Du wartest noch etwas ab, bis ihr die Exponentialfunktion zumindest mal in der Vorlesung eingeführt habt.

Hast du einen besseren Vorschlag?

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