Interpretation kombinierte Binomialkoeffizienten

10.11.2014, 12:53	dazedandconfused	Auf diesen Beitrag antworten »
Interpretation kombinierte Binomialkoeffizienten Meine Frage: Mahlzeit! Ich steh vor einem großen Problem. Ich soll mehrere Beispiele lösen bei denen Binomialkoeffizienten über Multiplikationen miteinander verbunden werden. Ich weiß wie's rechnerisch funktioniert (zumindest komm ich immer mehr oder weniger zum Ziel) doch was das ganze nun im realen Leben heißen könnte bleibt mir oft verborgen. :-( Genauer gesagt geht es um die folgenden Probleme: a. Wie interpretiere ich einen Ausdruck wie $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ? b. $\begin{eqnarray} x\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ c. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: a.Ich weiß dass $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mir die Anzahl der Möglichkeiten k Elemente aus einer n-elementigen Menge zu ziehen angibt, wobei die Reihenfolge egal ist und nicht zurückgelegt wird. Aber was bedeutet die Quadrierung? b. $\begin{eqnarray} x\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bedeutet doch, dass ich mir die Anzahl der Möglichkeiten aus einer m-elementigen Menge (wobei m:=xn, also die m-elementige Menge besteht aus x disjunkten n-elementigen Untermengen) k Elemente auszuwählen ohne zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge und mit der Voraussetzung, dass die k Elemente aus der gleichen Untermenge kommen müssen, berechnen möchte. c. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix} \ \end{eqnarray}$ gibt mir ja die Anzahl der Möglichkeiten m Elemente aus einer n-elementigen Menge zu wählen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} m \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Müsste dann die Anzahl der Möglichkeiten um k Elemente aus einer m-elementigen Menge auszuwählen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge berechnen. Heißt die Multiplikation der beiden Ausdrücke dann einfach, dass ich mir überlege wieviele Möglichkeiten es gibt um k Elemente aus einer m-elementigen Menge zu ziehen, welche ich zuvor aus einer n-elementigen Menge gezogen habe? Ist das dann nicht einfach $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ?
10.11.2014, 13:07	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalerweise ist es andersherum: Wir haben eine kombinatorisches Problem, und sollen dann eine dazu passende Anzahl ermitteln. Du scheinst nun zu vorgegebenen Anzahlwerten kombinatorische Situationen basteln zu wollen, die zu diesen Werten passen. Nun ja, das ist natürlich alles andere als eindeutig, wahrscheinlich besteht auch noch der Anspruch, dass dies in der Beschreibung möglichst einfach sein soll, nun gut. Bei a) ist $\begin{align} \binom{n}{k}\binom{n}{k} = \binom{n}{k}\binom{n}{n-k} \end{align}$ . Das passt z.B. zu folgendem Auswahlprozess: Wir haben $\begin{align} n \end{align}$ rote und $\begin{align} n \end{align}$ blaue Kugeln, alle voneinander unterscheidbar. Wenn wir jetzt aus dem Gesamtpool aller $\begin{align} 2n \end{align}$ Kugeln $\begin{align} n \end{align}$ Kugeln herausziehen, wieviele Ziehungsergebnisse enthalten dann genau $\begin{align} k \end{align}$ rote Kugeln? ---------------------------------- c) kann man auffassen als einen zweistufigen Auswahlprozess, indem erst $\begin{align} m \end{align}$ aus $\begin{align} n \end{align}$ ausgewählt werden (1.Stufe), und aus diesen $\begin{align} m \end{align}$ Elementen dann wiederum $\begin{align} k \end{align}$ ausgewählt werden (2.Stufe). Macht natürlich nur für $\begin{align} n\geq m\geq k\geq 0 \end{align}$ so richtig Sinn. $\begin{align} \binom{n}{m}\binom{m}{k} = \frac{n!}{k!(m-k)!(n-m)!} \end{align}$ beschreibt dann die Anzahl der möglichen Paare (!) solcher Auswahlmengen. Nur $\begin{align} \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \end{align}$ beschreibt dann lediglich die Anzahl der möglichen Mengen in der zweiten Komponente dieser Paare, das ist natürlich was anderes. P.S.: Im übrigen gilt da der Zusammenhang $\begin{align} \binom{n}{m}\binom{m}{k} = \binom{n}{k}\binom{n-k}{m-k} \end{align}$ , d.h. zu fester zweiter Komponente findet man genau $\begin{align} \binom{n-k}{m-k} \end{align}$ Erstauswahl-Mengen
10.11.2014, 22:57	dazedandconfused	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal vielen Dank, jetzt seh ich wesentlich klarer. Allerdings hätte ich zu c. noch eine Frage: Und zwar schreibst du, dass $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n-k \\ m-k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Rechnerisch lässt sich das ja sehr schön zeigen (ich spar mir mal das austippen). Kann ich mir das ganze so vorstellen, dass aus einer n-elementigen Klasse von Schülern k (zB 2) als Klassensprecher und Stellvertreter eingesetzt werden. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gibt mir dann die Anzahl der Möglichkeiten für die Wahl dieser 2 aus der gesamten Klasse an und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n-k \\ m-k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die Anzahl der Möglichkeiten für eine Wahl all jener Schüler die zur Wahl aufgestellt wurden ohne die 2 die schlussendlich gewählt werden? Ich hoffe das was ich geschrieben habe macht jetzt halbwegs Sinn
11.11.2014, 09:29	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist auf den ersten Blick etwas schwierig zu lesen, da nur zwischen den Zeilen versteckt ist, was du mit $\begin{align} m \end{align}$ meinst - sowas sollte man klar und deutlich vor der Rechnung kenntlich machen: Also $\begin{align} n \end{align}$ ist die Gesamtschülerzahl, $\begin{align} m \end{align}$ die Anzahl der aufgestellten Kandidaten, und $\begin{align} k=2 \end{align}$ die Zahl der gewählten Klassensprecher. Ja, dieses Beispiel passt in das Modell c).

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