kartesisches Produkt zweier Vektorräume

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lenovo26 Auf diesen Beitrag antworten »
kartesisches Produkt zweier Vektorräume
Hallo bei folgender Aufgabe weiß ich nicht wie ich da herangehen soll:

Seien V,W zwei reellle Vektorräume. Zeigt dass VxW(das kartesische Produkt beider) auch ein reelller Vektorraum ist.

Muss ich nun V und W als Untervektorräume von VxW darstellen oder wie geht man an sowas heran?


MFG Lenovo
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, hier gilt es einfach, die Eigenschaften eines -Vektorraumes nachzuprüfen. Dabei wird es dir helfen, zu wissen, dass V und W selbst Vektorräume sind smile

Lg
kgV
Wink
lenovo26 Auf diesen Beitrag antworten »
kartesisches Produkt zweier Vektorräume
Also muss ich zum beispiel zeigen , das in dem Vektorraum das kommutative gesetz oder assoziative gesetz oder existenz eines nullelementes. Allerdings frage ich mich grade wie denn der Inhalt dieses Vektorraumes aussieht!?

es gibt ja beispielsweise ein v aus V und w aus W. wenn man diese zum produkt nimmt entsteht ein vw welches element von VxW ist? ich kenne das kartesische produkt nur aus der mengenlehre. dort werden dann einfach alle paare gebildet ide man z.b. aus 2 mengen erhält. aber das kann ichmir bei vektorräumen echt schwer vorstellen bzw. mathematisch darstellen.

Ist mein Ansatz so richtig?

MFG Lenovo
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Die Elemente von sind Elemente der Form , also geordnete Paare. Für die musst du die Axiome nun nachprüfen, also z.B. dass gilt
algebra1 Auf diesen Beitrag antworten »

und wie kann ich jetzt beweisen wenn ich v und w habe, dass (a,b) + (d,c) = (d,c) + (a,b) gilt das versteh ich irgendwie nicht und deshalb die anderen Axiome auch nich... ich versteh es ja wenn es zahlen sind aber wie mach ich es mit v und w???
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, die Addition in Produkträumen ist komponentenweise definiert, also gilt . Diese Addition ist jetzt aber nicht mehr im Produktraum, sondern in in der ersten Komponente und in in der zweiten Komponente. Und jetzt kommt der Fakt ins Spiel, dass und Vektorräume sind. Deswegen gelten in beiden Komponenten die Rechenregeln eines Vektorraumes. Welche wird hier besonders nützlich sein, wenn wir zeigen wollen, dass die Gleichheit zu gilt? smile

PS. Bist du lenovo26?
 
 
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