Auf Konvergenz untersuchen und Grenzwert bestimmen

10.11.2014, 13:13

Andreas1234567890

Auf Konvergenz untersuchen und Grenzwert bestimmen

Meine Frage:
Die Aufgabe ist:
Es sei
$\begin{eqnarray*} a_{n} := \left(\frac{4n+2}{4n+4} \right)^{4n} \end{eqnarray*}$
für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Untersuchen Sie $\begin{eqnarray*} \left(a_{n} \right)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ auf Kenvergenz und bestimmen Sie gegebenfalls des Grenzwert.

Meine Ideen:
An der Formel kann man ja eigentlich schon ablesen, dass die Folge gegen 1 konvergiert, allerdings weiß ich nicht, wie man das beweisen kann.
In der Übung wurden ähnliche Aufgaben mit dem Satz von l'Hospital und den Konvergenzsätzen gezeigt, allerdings helfen diese bis jetzt nicht weiter.
Andere Aufgaben wurden auch mit $\begin{eqnarray*} |a-a_{n}|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ gelöst, allerdings habe ich dort noch nicht wirklich durchgeblickt.

Da man bei dieser Aufgabe ja für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{\infty }{\infty } \end{eqnarray*}$ heraus bekomme, habe ich versucht Sätze von L'Hospital anzuwende, erhalte aber leider immer 1/5 und nicht die gewünsche 1 als Grenzwert.

Schonmal vielen Dank im Voraus.

10.11.2014, 13:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von Andreas1234567890
An der Formel kann man ja eigentlich schon ablesen, dass die Folge gegen 1 konvergiert

Ich weiß nicht, wer "man" ist - ich jedenfalls lese da was anderes heraus, zunächst mal dies:

$\begin{align*} a_n = \left( \frac{4n+4-2}{4n+4} \right)^{4n} = \left( 1-\frac{2}{4n+4} \right)^{4n} \end{align*}$ .

10.11.2014, 15:11

RavenOnJ

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RE: Auf Konvergenz untersuchen und Grenzwert bestimmen

Zitat:

Original von Andreas1234567890

An der Formel kann man ja eigentlich schon ablesen, dass die Folge gegen 1 konvergiert,

Herr Euler würde sich im Grabe drehen.

10.11.2014, 15:49

Andreas1234567890

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RE: Auf Konvergenz untersuchen und Grenzwert bestimmen
Was würde Herr Euler denn sagen?

10.11.2014, 16:02

HAL 9000

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Dir ist $\begin{align*} \lim_{k\to\infty} \left(1 + \frac{1}{k} \right)^k = e \end{align*}$ , oder allgemeiner noch

$\begin{align*} \lim_{k\to\infty} \left(1 + \frac{a}{k} \right)^k = e^a \end{align*}$ für beliebiges $\begin{align*} a\in\mathbb{R} \end{align*}$

bekannt?

10.11.2014, 16:24

Andreas1234567890

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Das wusste ich bis jetzt leider noch nicht.

Kann man das dann so erweitern?
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left(\left(1+\frac{-2}{4n+4} \right)^{4n}*\left(1+\frac{-2}{4n+4} \right)^{4}\right) = \lim_{n \to \infty }\left(1+\frac{-2}{4n+4} \right)^{4}*e^{-2}=\left(1+0\right)^{4}*e^{-2}=e^{-2} \end{eqnarray*}$

10.11.2014, 16:32

HAL 9000

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Na ich hätte eher an

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left(\left(1+\frac{-2}{4n+4} \right)^{4n+4}\cdot \left(1+\frac{-2}{4n+4} \right)^{-4}\right) = \ldots = e^{-2} \end{eqnarray*}$

gedacht, um die von mir oben genannten Grenzwerte nutzen zu können.

10.11.2014, 16:40

Andreas1234567890

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Stimmt, habe mich da etwas vertan.

Kann man ohne Beweis $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\left(1+\frac{-2}{4n+4} \right)^{-4}=1 \end{eqnarray*}$ annehmen?

10.11.2014, 17:33

HAL 9000

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Wieso "ohne Beweis" ? Aus $\begin{align*} \lim_{n \to \infty} a_n = a > 0 \end{align*}$ folgt für beliebigen aber festen (d.h. von $\begin{align*} n \end{align*}$ unabhängigen) reellen Exponenten $\begin{align*} k \end{align*}$ stets $\begin{align*} \lim_{n \to \infty} a_n^k = a^k \end{align*}$ .

10.11.2014, 17:44

Andreas1234567890

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Vielen Dank, hast mir sehr geholfen!

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