Berechnung Kugelsegmente in Abhängigkeit der Lage im Raum

10.11.2014, 14:28	Kreisel1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung Kugelsegmente in Abhängigkeit der Lage im Raum Hallo zusammen, ich versuche aktuell Teilvolumen einer Kugel zu berechnen. Generelles Problem: Eine Kugel fällt durch ein Gitter und wird am Knotenpunkt in 8 unterschiedlich große (in Abhängigkeit der Position im Raum) Teile geschnitten. In jeder der 8 Zellen befindet sich folglich zum beliebigen Zeitpunkt t ein bestimmter Anteil des Kugelvolumens. Aktuell bin ich soweit, dass für einen 2D-Fall die Berechnung keine Schwierigkeiten bereitet. -->Funktion für den Kreis aufstellen, Kreisfläche berechnen und die Integrationsgrenzen in Abhängigkeit der Lage im Raum anpassen. Zusätzlich eine 2. Gerade einfügen um die horizontale Grenze festzusetzen. Beim 3D Model funktioniert meine Rechnung so lange der dritte Schnitt mittig durch das Zentrum der Kugel verläuft. Kommt hier die dritte Variable dazu, stehe ich aktuell auf dem Schlauch. Über Hilfe wäre ich dankbar! Viele Grüße Hans
10.11.2014, 21:34	Egal	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum besseren Verständnis. Die Kugel wird in 3 Richtungen geschnitten. Die Schnittebenen sind paarweise zueinader orthogonal? Was genau weißt du denn über die Schnittposition (Lage bzgl. Mitte?)? Behandelst du das Problem aktuell in kartesischen Koordinaten?
11.11.2014, 08:19	Kreisel1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau, die Kugel wird in 3 Richtungen geschnitten und alle 3 Ebenen sind paarweise orthogonal. Die Lage im Raum ist prinzipiell in erster Linie für die Berechnung zweitrangig (soll ja später variabel ablaufen können). Die exakte Position hängt im Anschluss von mehreren Faktoren (Abstände XYZ und Radius der Kugel ergeben ein bestimmtes Maß an Überlappung) Vielleicht kurz eine Erläuterung zum 2D Fall: Kreisebene geschnitten an beliebiger Stelle XY ergibt 4 unterschiedliche Flächen: 1. Aufstellung der Kreisfunktion (kartesisches Koordsys.) f(x) 2. Aufstellung der Funktion für den horozontalen Schnitt h(x) 3. Festlegung der Integrationsgrenzen (ergibt den Vertikalen Schnitt) Im Endeffekt entstehen somit 4 Integralfunktionen in Abhängigkeit der Kreisfunktion und der begrenzenden Funktion (Integral mit zwei begrenzenden Funktionen) Jedes Integral mit den Integrationsgrenzen ("vom Rand bis zum vertikalen Schnitt") Habe das ganze mal durch ein Matheprogramm laufen lassen und mit den Variablen gespielt und passt soweit. Für 3D dachte ich zuerst an folgendes: Für ein beliebiges Achtel: 1. Aufstellung der 3 Funktionen, die auf den jeweiligen Ebenen (XY, XZ YZ) abgebildet sind. 2. Berechnung der Flächen 3. Berechnung des Volumens welches durch die 3 Flächen eingeshclossen wird. Hier hänge ich allerdings aktuell. Lässt sich ein Volumen über 3 begrenzende Flächen berechnen/interpolieren. Zweiter Ansatz wäre der Ansatz über ein Volumenintegral mit Kreisfunktionen als Integrationsgrenzen. Diese Kreisfunktionen lassen sich wieder zuerst bestimmen (in Abhängigkeit der Lage im Raum) Anschließend Volumenintegral lösen.. Hier hänge ich an der Standardfunktion welche im ersten Schritt eingesetzt werden muss.. also int()int()int() Funktion dxdydz Vielleicht bringen diese Hinweise etwas...
11.11.2014, 10:22	Kreisel1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier mal ein Beispiel für die 3D-Berechnung einer Teilkugel: Die bunten Flächen lassen sich ja in Abhängigkeit der Position der Schnittebenen zum Mittelpunkt der Kugel bestimmen. Die einzelnen Radien der Funktionen lassen sich über nen Pythagoras in Abhängigkeit der Raumlage ausdrücken. Somit sind Flächen und Kurvenverläufe klar. Auch mögliche Integrationsgrenzen wären eindeutig bestimmbar. Aber irgendwie fehlt mir trotz allem der passende Anstoß in die richtige Richtung
13.11.2014, 08:45	Kreisel1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Moin moin, dachte ich poste mal einen eventuell möglichen Ansatz. Vielleicht findet sich ja jemand der den Ansatz mal durchdiskutiert - will ja keine fertige Lösung haben, eher eine Diskussionsgrundlage schaffen, denn, so wie die Rückmeldungen bisher sind, scheint das ganze doch nicht so trivial zu sein... Also nehmen wir die Abbildung in meinem letzten Post und weiterhin die Annahme des Koordinatensystems im Schnittpnkt der drei bunten Flächen. Allgemein lässt sich ja ein Volumen über ein Volumenintegral bestimmen: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \int_{Xu}^{Xo} \int_{Yu}^{Yo} \int_{Zu}^{Zo} \! f(x) \, \mathrm{d}z \mathrm{d}y \mathrm{d}x<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Als Grenzen der Integrale würde ich die jeweiligen Kreisfunktionen als obere Grenze und die Schnittgerade als untere Grenze angeben. Für die Z-Grenzen würde das bedeuten: Zu=Sz (Höhe der Schnittebene=XY-Ebene (Z-Wert) ) Zo wird da komplizierter: Zo = Kurve in der ZY-Ebene + Kurve in der ZX Ebene + Z-Achsenabstand Für Y und X kann prinzipiell ähnlich vorgegangen werden, nur beschreibt Yo die Kurve AUF der XY Ebene und für Xo würde ich den oberen Grenzwert auf der X-Achse angeben. Die unteren Werte wie oben für Z bereits gezeigt... Mit der Annahme: Radius blaue Fläche = R1 Radius rote Fläche = R2 Radius grüne Fläche = R3 folgt: $\begin{eqnarray} <br /> Zo=\sqrt{R2^2 - Y^2} + \sqrt{R1^2 - X^2} - Sz<br /> \end{eqnarray}$ Bei der Bestimmung der Radien R1, R2 und R3 dachte ich zu Beginn, dass diese Geschichte simpel abläuft, allerdings befürchte ich, dass auch hier, aufgrund der 3D Verschiebung des MIttelpunkts, ein wenig Arbeit ansteht... Zu Beginn dachte ich (Bsp rote Fläche): $\begin{eqnarray} <br /> R2(x)=\sqrt{R^2 - X^2}<br /> \end{eqnarray}$ mit R= Radius der Kugel Hier bin ich mir nicht sicher, ob die Abhängigkeit tatsächlich benötigt wird, oder ob die Annahme für den Radius korrekt sein könnte So jetzt ist jede Menge geschrieben... Vielleicht findet sich ja jemand für eine Diskussion! Würde mich freuen. Wenn es natürlich einen Standardansatz gibt, den ich einfach nicht sehe, dann immer raus damit ;-) Viele Grüße!
16.12.2014, 09:09	Kreisel1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo zusammen, ich dachte ich berichte mal von meinen Fortschritten: (habe auch noch in einem anderen Forum diskutiert) Zum Ausgangspunkt: Die kugel wird in einem Gitterpunkt G(Gx, Gy,Gz) geschnitten: (habe das Ganze in MathCAD eingegeben, deshalb nur Bilder angehängt) Bild1 zeigt die Ausgangssituation, also das Integral mit den angepassten Grenzen. Die folgenden Bilder zeigen die ersten beiden Integrationsschritte. Danach ist leider für mich Schluss. MathCAD löst die Integrale nicht durch Substitution sondern bringt dann Real und Imaginärteile - bringt mir leider nicht viel. Für den letzten Integrationsschritt hänge ich leider an den beiden großen arcsin-Termen. Hat mir hierfür jemand einen Tipp/Lösungsansatz/Lösung/Programm/ oder auch sonst Hilfe? Würde mich freuen! Viele Grüße Kreisel Edit: Ich sehe gerade dass die Bildreihenfolge anders dargestellt wird! Bild 3 (also unteres Bild) zeigt die Ausgangssituation Oben links zeigt die Lösung mit MathCAD oben rechts die händische Lösung des zweiten Integrationsschrittes
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16.12.2014, 10:33	Kreisel1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Einen weiteren Rechenschritt habe ich noch vergessen: V2 ist die Funktion die nach dx Integriert werden soll. Im Bild sind die gelösten Integrale dargestellt. Wie bereits geschrieben komm ich bei den letzten beiden (roter Kasten) nicht mehr weiter! Viele Grüße Kreisel

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