Stetigkeit prüfen

10.11.2014, 15:40	stetigkeit adieu	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit prüfen Meine Frage: Untersuchen sie die Abbildungen auf stetig bzw. gleichmäßige stetigkeit a) $\begin{eqnarray} f:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R , x \rightarrow\frac{1}{1+\|x\|^2} \end{eqnarray}$ hierbei sei $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ mit der euklidischen norm $\begin{eqnarray} \|x\|= <x,x>^\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ ausgestattet b) $\begin{eqnarray} i:\mathbb{R}^n\setminus{0} \rightarrow \mathbb R^n , x \rightarrow\frac{x}{\|x\|^2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|.\| \end{eqnarray}$ genau wie bei a) Meine Ideen: bei der eins wollte ich mit folgen krit zeigen dass es nur stetig ist,aber mir fallen keine Funktionsfolgen ein ,die das machen könnten,denn ich vermute sie ist nicht stetig. und bei b) hab ich keine ahnung. HILFFEEE! (
10.11.2014, 15:59	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
b) ist nur stetig, während a) sogar gleichmäßig stetig ist, was aus einer hier vorliegenden Lipschitz-Stetigkeit folgt.
10.11.2014, 16:36	steigkeit adieu	Auf diesen Beitrag antworten »
a) $\begin{eqnarray} f(x)-f(y) \leq L x-y \end{eqnarray}$ . Darausfolgt $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+\|x\|^2} - \frac{1}{1+\|y\|^2}=\frac{\|y\|^2-\|x\|^2}{(1+\|y\|^2)(1+\|x\|^2)}= \frac{(x+y)(x-y)}{(1+\|y\|^2)(1+\|x\|^2)} = (x-y)\frac{(x+y)}{(1+\|y\|^2)(1+\|x\|^2)} \end{eqnarray}$ jetzt weiss ich nicht wie ich weiter machen soll b) wollte ich das denn da mit dem folgekriterium machen $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } x_n -y_n =0 \end{eqnarray}$ so muss auch $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } f(x_n) -f(y_n) =0 \end{eqnarray}$ da hab ich keinen plan wie ich $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_n \end{eqnarray*}$ wählen muss.
11.11.2014, 10:07	stetigkeit adieu	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man das so machen?

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