Eigenschaften eines Körpers zeigen

10.11.2014, 15:46

törtchen22

Eigenschaften eines Körpers zeigen

Meine Frage:
Also, hier hab ich zwar einen Ansatz, aber mehr dann auch nicht.

Zeigen Sie, dass die folgende Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit der von $\begin{eqnarray*} \left(\mathbb R , + ,\cdot \right) \end{eqnarray*}$ geerbten Addition und Multiplikation ein Körper ist.

$\begin{eqnarray*} K = \left\{ a+ b\sqrt{2} | a, b \in Q \right\} \end{eqnarray*}$

Hinweis zum multiplikativen Inversen: Die Gleichung $\begin{eqnarray*} \left(a+b\sqrt{2} \right) \cdot \left(x+y\sqrt{2} \right) = 1 \end{eqnarray*}$ führt durch Koeffizientenvergleich auf ein Gleichungssystem, das in Q lösbar ist.

Meine Ideen:
Ich denke, ich muss zeigen, dass die Regeln zum additiven und Multiplikation Inversen gelten, damit es ein Körper ist. Ich verstehe allerdings den Hinweis nicht, wie soll ich denn aus der Gleichung ein Gleichungssystem schaffen? Ich finde, der Koeffizientenvergleich hilft mir auch nicht weiter - dass a und x bzw. b und y die gleichen Koeffizienten haben, seh ich ja, aber was bringt mir das?

Beim additiven Inversen hab ich mehr oder weniger das gleiche Problem. Es wär schön, wenn mir da jemand einen kleinen Tipp geben könnte, wie ich auf die Lösung komme oder welchen Weg ich gehen muss.

10.11.2014, 17:42

bijektion

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Zitat:

dass a und x bzw. b und y die gleichen Koeffizienten haben, seh ich ja, aber was bringt mir das?

Da $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}\notin\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist, kannst du den entstehenden Term aufspalten in einen Teil ohne "irrationalen Anhang" und einen mit aufteilen.

Bsp.: Wenn du $\begin{eqnarray*} \alpha +\beta \cdot \sqrt{2} = 1 \end{eqnarray*}$ lösen willst und $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ , dann gibt es da nur eine Möglichkeit zu (nämlich $\begin{eqnarray*} \alpha=1,\beta=0 \end{eqnarray*}$ ). Sind aber $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , so gibt es zwei, denn $\begin{eqnarray*} \alpha=0,\beta=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls eine Möglichkeit.

10.11.2014, 17:49

Leopold

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Zitat:

Original von bijektion
Sind aber $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , so gibt es zwei

Nicht unendlich viele?

10.11.2014, 18:19

törtchen22

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Danke!!!! Das war Rettung in der Not Big Laugh

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