Konvergenz einer Reihe

10.11.2014, 19:07

etitmathematiker

Konvergenz einer Reihe

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{3+4i}{6})^k \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht, wieso diese Reihe konvergent sein soll.

Meine Ideen:
Ich habe die Konvergenz mit dem Quotientenkriterium geprüft und da würde 7/6 herauskommen, die Aufgabenstellung besagt aber, dass man die Konvergenz nachweisen soll.

Latex korrigiert und Korrekturbeitrag entfernt - Guppi12

10.11.2014, 19:24

Leopold

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Eine geometrische Reihe $\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty} q^k \end{align*}$ , und um eine solche handelt es sich hier, ist konvergent, wenn $\begin{align*} |q|<1 \end{align*}$ gilt. Ist das hier der Fall?

10.11.2014, 19:33

etitmathematiker

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Meiner Meinung nach ist der Ausdruck in der Klamme 7/6, da ja der Betrag von i=1 ist.

Somit ist $\begin{eqnarray*} \left(| \frac{3+4i}{6} | \right) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \left( \frac{3+4*1}{6} \right) \end{eqnarray*}$

10.11.2014, 19:40

Leopold

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$\begin{align*} \color{red} \text{Aua!} \ \ \left| a + b \right| = \left| a \right| + \left| b \right| \ \ \text{Aua!} \end{align*}$

Es gibt keine Dreiecksgleichung, nur eine Dreiecksungleichung.

10.11.2014, 19:51

etitmathematiker

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Hmm ich hab das aber erst gestern hier im Forum irgendwo so gesehen, das man den Betrag mit einer komplexen Zahl so auflösen durfte.

Naja dann nochmal mit Dreiecksungleichung:

$\begin{eqnarray*} \left( |\frac{3+4i}{6}| \right) \leq |\frac{3}{6}| + |\frac{4i}{6}| \end{eqnarray*}$

Das ist ja immer noch größer 1, also was fange ich damit an?

10.11.2014, 19:52

HAL 9000

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Vielleicht probierst du es mal nicht mit Abschätzung, sondern exaktem Ausrechnen des Betrages.

10.11.2014, 19:56

Leopold

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Zitat:

Original von etitmathematiker
$\begin{eqnarray*} \left( |\frac{3+4i}{6}| \right) \leq |\frac{3}{6}| + |\frac{4i}{6}| \end{eqnarray*}$

Mein Hinweis sollte dich nicht dazu auffordern, die Dreiecksungleichung anzuwenden, sondern dir nur klarmachen, daß du eine völlig falsche Formel zur Berechnung verwendet hast. DER BETRAG IST MIT DER ADDITION NICHT VERTRÄGLICH. Mit der Multiplikation und Division hingegen ist er verträglich.
Ansonsten hat HAL 9000 schon alles gesagt.

10.11.2014, 19:59

etitmathematiker

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hmm der Betrag ist ja wirklich kleiner 1 und zwar 5/6.
Ok damit ist die Reihe nach dem Wurzelkriterium absolut Konvergent, nur wie mach ich das jetzt mit dem Grenzwert, das habe ich bisher noch nicht gemacht mit einer komplexen Zahl.

10.11.2014, 20:14

Leopold

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$\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty} q^k = \frac{1}{1-q} \end{align*}$

gilt bei Konvergenz immer.

10.11.2014, 20:41

etitmathematiker

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statt dem q darf ich dann die 5/6 einsetzen?

10.11.2014, 20:46

HAL 9000

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Da steht nicht $\begin{align*} \frac{1}{1-|q|} \end{align*}$ , sondern $\begin{align*} \frac{1}{1-q} \end{align*}$ . unglücklich

10.11.2014, 21:04

etitmathematiker

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ok, als Grenzwert habe ich dann folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{1}{2} -\frac{2i}{3} } \end{eqnarray*}$

und da das ja ein komplexer Bruch ist, muss ich den ja auch so berechnen, am Ende hätte ich dann

$\begin{eqnarray*} \frac{25}{72} +\frac{5i}{108} \end{eqnarray*}$

10.11.2014, 21:41

HAL 9000

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Ich komma da auf was anderes: $\begin{align*} \frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{2i}{3}} = \frac{6}{3-4i} = \frac{6(3+4i)}{25} = \frac{18}{25} + \frac{24}{25}i \end{align*}$ .

10.11.2014, 21:57

etitmathematiker

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Ja ich hab mich da bei einem Bruch verschrieben, du hast recht, jetzt hab ich auch das gleiche wie du.
ok und das ist jetzt also der Grenzwert dann?

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